10 декабря, 2017 19:54
Саны N денеден (материялык нүктелерден) тұратын механикалық жүйені карастырайық. Егер жүйеге сырткы күштер әрекет жасамаса, оны оқшауланган немесе түйықталган деп атайды.
Оқшауланған жүйені кұрастыру- шы материялық нүктелер үшін жүйе қозғалған кезде өзінің тұрақты мэнін сақтап калатын координаталар мен жылдамдықтардың функцияларын табуға болады.
|
Бұл функцияларды қозгалыс интегралдары деп атайды. Мынадай мысал келтірейік. Ма- териялық нүктенің козғалысы |
| 3
II |
|
| сіх
— = V, (Һ |
| теңдеулермен берілсін. Есептің шар- ты бойынша қозғалған нүктенің кез келген уақыт мезетінде кеңістіктегі орнын анықтау кажет.
Есепті шығару үшін теңдеуді интегралдау арқылы табылған отің мэнін койып, тағы да ин- тегралдау нэтижесінде лтіц мэнін анықтау жеткілікті. |
| Күштердің үлкен бір тобы үшін бірінші интегралдауды жалпы түрде жүргізуге жэне алынған нәтижені физикалық шамалардың белгілі бір комбинациясының тұрақты сандык мэндері түрінде келтіруге мүмкіндік бар. Мұның өзі алынған нәтиженің — күрделі физикалық шаманың сақталу заңы болып саналады. Демек, меха- никада сақталу заңдары қозгалыс теңдеулерінің бірінші интегралда- ры түрінде берілуі мүмкін деген қорытынды туады. Материялык нүк- телер жүйесі үшін анықтауға мүм- кіншілік бар саны көп қозғалыс интегралдары арасынан тек аддитив- тік қасиеті бар интегралдардың ғана аса көрнекті маңызы бар. Бұл қасиет бойынша өзара әрекеттерін ескер- меуге болатын бөліктерден кұралған жүйе үшін қозғалыс интегралының мэні кұрастырушы бөліктердің жеке дара қозғалыс интегралдар мэндері- нің қосындысына тең болады. Адди- тивтік интегралдар саны үшке тең. Олар — энергия, импульс жэне импульс моментінің сақталу заңдары.
Сонымен, оқшауланған жүйе үшін үш физикалық шама — энергия, им- |
| пульс жэне импульс моменті тұракты сақталады. Айтылған сақталу заң- дары кеңістік пен уакыттың негізгі қасиеттерімен тығыз байланыскан. Нақты айтқанда, энергияның сақталу заңы — уакыт біртектілігінің салдары, импульстікі — кеңістіктің біртекті- лігі, ал импульс моментінің сақталу заңы кеңістік изотроптығының сал- дары екені белгілі.
Уақыт біртектілігі бойынша, егер уақыттың кез келген екі мезетін- де тұйық жүйенің барлық бөліктерін тура бірдей жағдайға келтірсек, осы уақыт мезеттерінен бастап жүйедегі барлық құбылыстар бірдей жүреді. Кеңістіктің біртектілігі бойын- ша, егер оқшауланған жүйені, оны құрастырушы денелердің бастапқы калпын өзгертпей, басқа орынға ауыстырсақ, бұл орын ауыстыру жүйедегі қүбылыстардың жүру ба- рысына әсерін тигізбейді. Кеңістік изотроптыгының ма- ғынасы да дэл осындай, тек енді орын ауыстыру орнына кеңістіктің кез келген бүрышқа бүрылуы қарас- тырылады. Сақталу заңдарының механика жэне ғылымның баска да салаларын- дағы зерттеулер үшін ықпалы өте зор. Олардың жалпылығы, іргелілігі соншалықты, кейбір жағдайларда сақталу заңдарын тіпті козғалыс теңдеулері алдын ала белгісіз есеп- терді шешуге де қолдануға болады. Олардың көмегімен әрекет етуші |
| күштер белгісіз болған жағдайларда да механикалық жүйелер туралы бір- қатар маңызды деректер алуға бола- ды.
Жүмыс. Қуат. Энергия Жұмыс. Жүйе бір күйден екінші күйге ауысқанда оған әрекет жаса- ған күштердің жүмыс істеу кабілетін сипаттайтын жүйе күйінің функция- сы қозғалыстың универсал өлшемі — энергияның физикалық мағынасын анықтайды. Сондықтан карастыру- ға механикалық энергия түсіпігін енгізу үшін эуелі күш жүмысының анықтамасын келтірейік. сі8 орын ауыстыру кезіндегі Ғ күштің жұмы- сы деп күштің орын ауыстыру бағы- тына Ғ проекциясының сол орын ауыстыру ұзындығына көбейтіндісін айтады: сіА = С сі8 = Ғс18 соза, мүндағы а — Ғ және сіН векторлары- ның арасындағы бүрыш формула элементар орын ауыс- тыру кезіндегі күштің жасайтын эле- ментар жұмысын анықтайды. Бұл түсініктеме тек элементар қозғалыс кезінде ғана күш модулі мен күш жэне орын ауыстыру бағыттарының арасындағы бүрыштың тұракты бо- луымен, ягни орын ауыстыру бағы- тына күш проекциясының тұрақты болу қажеттілігімен байланысты. |
| Егер векторлардың скалярлык кө- бейтіндісі ережесін колдансак, эле- ментар жұмысты
сІА = ¥ формуламен есептеуге болады. Ма- териялық нүкте кез келген траек- ториямен қозғалған жалпы жағдайда ұзындығы шекті жолда істелінген жұмыс траектория бойында алынған элементар орын ауыстырулар кезін- де жасалған элементар жұмыстар- дың қосындысы түрінде анықталады. Себебі, элементар орын ауыстыру- дың модулі элементар жолға тең болғандықтан, элементар орын ауыс- тыру модульдерінің қосындысы күш түсірілген нүктенің жүрген жолына тең. Егер саны шексіз, ал үзындығы нөлге үмтылған элементар орын ауыстырулар кезіндегі жасалған эле- ментар жұмыстарды өзара қоссақ, ондай қосындының шегі Ғ күштің /. траектория бойымен алынған қисық сызықты интегралы деп аталады: 4 = |Ғс/8, і мұндағы Ь-с!8 элементар орын ауыс- тырулар қосындысынан кұралған |
| траектория. Сонымен, интеграл Ь — қисық бойында Ғ күштің жасаған жұмысы.
Егер денеге бірнеше күш әрекет етсе, формуланы корытқы күш жасайтын жұмысты есептеу үшін қолдануға болады. Яғни, корытқы п Ғ = ^ Ғ( күш болса, толық жұмыс (3.5)-ке сэйкес 4 = |Хғ,ғ/8 л ,=і өрнекпен анықталады. Мұндағы п — әрекет еткен күштер саны. Әрі қарай косынды интегралын интегралдар- дың қосындысы арқылы анықтайтын интегралдар теориясының ережесін қолданып, формуласындағы интеграл мен қосынды белгілерінің орындарын ауыстырайық: А = ±! і=і і=і мұндағы А — эрбір Ғ. күштің Ь қисык бойында істеген жұмысы. Міне, осылай қорытқы күштің Ь қисық бойында істеген жұмысы жеке күш- тердің жасаған жұмыстарының қо- сындысына тең екені дэлелденіп отыр. Егер Ғ (8) тэуелділігі белгілі болса, күш жұмысын график түрінде анықтау колайлы. Төмендегі 3.2-су- ретте орын ауыстыру бағытына күш проекциясының графигі бөлшектің траекторияда орналасу функциясы түрінде бейнеленген (абсцисса осі |
| 8 жолға сәйкес деп санауға бола- ды). Элементар с/8 орын ауыстыру барысында жасалған элементар жұмыстың сандық мэні (З.З)-ке сәй- кес штрихталған ауданға тең. Әрине, бұл жерде с/8 орын ауыстыруды эр- қашан соншалықты кішкентай қы- лып алуға болғандықтан, штрих- талған аудан тік төртбұрышты фигура деп саналып отыр. Ал шекті орын ауыстыру кезіндегі жұ- мысты жоғарыдағыдай элементар аудандардың қосындысы ретінде қа- растыруға болады. Сонымен, Ғ(5) диаграммасында жұмыстың сандық мэні Ғ (5) қисығы мен 5 осіндегі 8 жол бөлігінің арасындағы ауданмен анықталады. |
| ығысу жолының х осіне проекция- лары бір таңбалы екені байқалады. Олай болса, Ғе (х) тэуелділігін графикпен бейнелей аламыз. Яғни, созылу немесе сығылу кезіндегі сыртқы күштің істейтін жүмысы сэйкес үшбүрыштардың аудандары- мен өрнектеледі:
Ғс= 0 |ААААААЛ^————— ► |
| Осы алынған нәтижені серіппені бірдей қашықтыққа қысатын неме- се созатын Ғ сыртқы күштің істеген жұмысын табу үшін қолданайық. Ал- дын ала серіппе деформациясы Гук заңына бағынады, ал сырткы күш модулі бойынша үнемі серпімділік күшіне тең деп кабылдаймыз. Есеп- тің сұлбасы берілген. Суретке қарағанда, серіппе созылғанда да, сығылғанда да Ғ сыртқы күш жэне оның әрекет еткен нүктенің |
| ^ 0 ғ„, ДГ
Ғс — Ғ — -кх |
| 3.3-сурет
А = \Ғ^ = \^ҒЛ-Х)~- (3-8) |
| Қуат. Уақыттың бір өлшемі ара- лығында істелінген жүмысты қуат деп атайды: |
| (3.4)-өрнекті ескере отырып, қуатты былай есептеуге де болады:
Р = Ғхқ |
| лық нүктенің элементар орын ауыс- тыруы сі8-ке скалярлы көбейтейік:
т — с/8 = Ғс/8. сһ „ с!$ Бұдан — = гі екенін ескере отырып, тъсһ)=Ғс]8 табамыз. Соңғы өрнектің оң жэне сол жағын нүкте траекториясының 1 ор- нынан 2 орынға дейін интегралдап 2 2 | /т)Л> = | Ғ<з?8, і і мынадай нәтижеге келеміз: |
| яғни, куат күш векторы мен күш түс- кен нүктенің жылдамдығы векто- рының скалярлық көбейтіндісімен анықталады.
Халықаралық бірліктер жүйесін- де (ХБЖ) жұмыс бірлігін анықтаушы теңдеу аркылы табамыз: [Л]=[Ғ][б]=1 Н-1 м=\джоуль=\ Дж Осыған сэйкес қуат бірлігі [р]= [ғ ][)]= 1Н ■ 1 — = 1 ^Ж = \ватт = \Вт с с өрнегімен анықталады. Келтірілген өлшемдер бірліктері- нен басқа, олардың еселері немесе бөліктері 1 гДж (гигаджоуль)=1\09 Дж I пВт (пиковатт)=\ • 1()’12 Вт ал кейде жүйеден тыс өлшем бірлік- тері 1 кВт.саг (киловатт.саг)=Ъ,6-106Дж 1 эрг= 10~7 Дж қолданылуы мүмкін. Кинетикальщ энергия. Қорытқы күш әрекет еткен материялық нүкте қозғалысы тТГ ғ <ЗЛ1> теңдеуімен өрнектеледі. Осы теңдеу- дің оң жэне сол жактарын материя- |
| Алынған нәтижеге қарағанда, ма- териялық нүктеге әрекет еткен бар- лык күштердің корытқы күші жасай-
пю2 тын жұмыс шаманың өзгеруіне тең. Бұл шама нүктенің тек бастапқы жэне соңғы жағдайына тәуелді екені айқын, сондықтан күй функциясы бо- лып тұрып, нүктеге (жүйеге) әрекет еткен корытқы күштің жұмыс істеу қабілетін анықтайды, яғни, кейін көрсетілетіндей, қозғалыстың уни- версал қасиетін сипаттайды. Соны- мен, Туфизикалық шама козғалыс энергиясын, яғни материялық нүк- тенің кинетикалық энергиясын өр- нектейді: |
| емес, сонымен катар ішкі күштер жұ- мысына да тәуелді.
Өзінің мағынасына қарай қатыс сырткы күштер өрісінде ор- наласқан өзара әрекеттесетін ма- териялық нүктелер жүйесі үшін механикалық энергияның сақталу заңын өрнектейді. Аса маңызды- лығына орай бұл теңдеуді кинети- калық энергия теоремасы деп те атайды. Энергияның сақталу заңына терең талдау жасау үшін, яғни механикалық энергияның сақталу шарт- тарын нақтылау үшін консерватив және консерватив емес күштер, потенциалдық энергия сияқты жаңа түсініктерді қарастыруға тура келеді. Консерватив жэне консерватив емес күіитер. Күштерді олардың касиетіне сәйкес консерватив жэне консерватив емес деп аталатын екі топқа бөлуге болады. Осыған бай- ланысты, төмендегідей мысалдар келтірейік. 1. Материялық нүкте 1-орыннан 2-орынға екі түрлі 512 жэне З’] і2 жол- дармен ауысқанда Ға=/л§ ауырлық күшінің істейтін жұмысын есептейік |
| Е . то .
» 2 Осыған байланысты, теңдігін ЕК2-ЕКі =Аі2 түрінде қайта жазуға болады. Алын- ған нәтижені материялық нүктелер- дің кез келген жүйесі үшін жалпылау қиынға түспейді. Саны N материялық нүктелер- ден тұратын жүйені қарастырайық. Жүйенің эрбір нүктесіне ішкі жэне сыртқы күштер эрекет жасайды. Же- ке-дара нүктенің қозғалысы қа- растырылса, ішкі күштер оған ка- рағанда сыртқы саналып, жүйені құраушы эр нүктенің козғалысы -теңдеуге бағынады. Жүйенің кинетикалық энергиясы деп жүйені құраушы материялық нүктелердің немесе сол жүйені ойша бөлген бөлшектердің кинетикалық энергия- ларының қосындысын айтады. Енді теңдеуді жүйенің әрбір мате- риялық нүктесіне немесе бөлігіне ойша жазып, оларды бір-біріне мүшелеп қосайық. Бұл амалдың нәти- жесінде теңдеуін аламыз, тек алынған өрнек жеке нүкте үшін емес, тұтас жүйе үшін жазылған болады. Теңдеулерін қосқанда, ма- териялық нүктелер жүйесінде ішкі күштер жасайтын жұмыстың нөл- ге тең еместігіне көңіл аудару ке- рек, яғни кинетикалық энергияның өсімі тек сыртқы күштер жұмысына |
| Жұмыс анықтамасы бойынша Ап=¥&{Ггщ>$п=т8(һгһ2).
Ал 5 жолындағы жұмысты қо- сынды түрінде жазуға болады: А,32 = А13+А32’ (3‘16) мұндағы Ап=т§{һгһ2) Ап = т&832= т§832со§п/2 = 0. Соңғы мэндерді (З.іб)-теңдікке қойып, (3.15)-ті ескерсек, А12=А132 (З-17) екенін көреміз. Алынған нэтиже ауырлық күшінің кез келген жол- да істейтін жүмысы үшін дұрыс болатыны айқын. Бүдан ауырлык күші жұмысының мөлшері жолдың пішініне тәуелді емес, тек материя- лық нүктенің бастапқы жэне кейінгі орындарымен анықталатыны туралы қорытынды туады. 2. Енді материялық нүктенің центрлік күштер өрісінде қозғалысы кезіндегі жасалатын жұмысты есеп- тейік. Мұндай өріс материялық нүк- теге кеңістіктің кез келген нүкте- сінде эрекет еткен күштің үнемі қозғалмайтын центр арқылы өтіп отыруы жэне шамасы тек сол центр- ге қашықтықка тәуелді болуы сияқты екі қасиетпен ерекше сипат- |
| талады. Осындай өрістерге Күн- нің планеталарға әрекет ететін гра- витациялық тартылыс күші немесе екі нүктелік зарядтар арасындағы электрстатикалық әрекет күші мысал бола алады. Жалпы түрде центрлік күштердің жұмысы
г2 ЛІ2 =|Ғй?5со8(Ғг?8) п интегралымен анықталады, мүнда г жэне г — материялық нүктенің бас- тапқы жэне соңғы орнын белгілейтін радиус-векторлар; с/8 — нүктенің эле- ментар орын ауыстыруы; Ғ — центр- лік күш (3.6-сурет). Сұлбаға караған- да, с/5со8(Ғс/8)=с/г, сондықтан г2 Л12 = |Ғсіг . і Бұдан центрлік күш жүмысының шамасы нүкте жолының пішініне емес, тек оның бастапқы жэне соңғы орындарына, яғни г, мен г2 мәндері- не тэуелділігі туралы қорытынды шығады. |
| Қарастырылган мысалдың ма- ңызды салдары бар: егер өзара эре- кеттескен материялық нүктелер бір- |
| Күштердің консервативтігінің ма- тематикалық критерийі ретінде сол күштердің түйық жол бойындағы жүмысын, яғни
/ = |Ғс/8 і интегралды есептеу нэтижесін алуға болады. Егер Ғ күш консервативті болса, материялық нүктенің түйық жолдың жэне Е, бөліктеріндегі істеген жү- мыстары тең болуы керек ягни |Ғі/8 = |Ғі/8. і, і2 |
| біріне салыстырмалы козғалмайтын болса, олардың кез келген біріккен козғалысында формуладағы интеграл үнемі нөлге тең болады. Бұ- ның өзі абсолют катты денелерде эре- кет жасаған ішкі күштердің жұмысы сол денелердің кез келген козғалыс- тарында нөлге тең деген сөз.
Өзара әрекеттескен екі материялык нүкте үшін жасалған корытын- дыны центрлік күштер арқылы эре- кеттескен нүктелердің кез келген жүйесі үшін де колдануға болады. Себебі, кұраушы материялық нүкте- лердің орындары берілсе, сол коор- динаталар олар кұрған жүйенің де кеңістіктегі орнын анықтайды. Сонымен, центрлік күштер жұмысы жүйенің бастапқы орыннан соңгы орынга ауысу тәсіліне (жол пішініне) емес, тек құраушы нүктелердің иіек- ті орындарына тәуелді. Қарастырылған мысалдар күштер- дің бір тобын іріктеп алуға мүмкін- дік береді: егер өзара әрекет күштер тек жүйені құраушы нүктелердің кеңістіктегі орнына (координата- ларына) ғана тәуелді болып және осы өзара әрекет күштердің істейтін жүмысы жүйе кез келген бастапқы орыннан екінші бір орынға ауыскан- да жүрген жол пішініне байланыс- ты болмай, тек жүйенің кеңістіктегі шекті бастапқы және соңғы орында- рымен анықталса, оларды консерва- тив немесе потенииалдық күштер деп атайды. |
| Интеграл шектерін орын ауыс- тырғанда оның таңбасы кері өзге- ретіндіктен, (3.20) қатынасты былай жазайык:
2 2 1 |Ғс/8 = |Ғс/8 = — |Ғі/8, і(і,) і(і2) і(і2) немесе 2 1 |Ғі/8+ | Ғі/8 = 0. |(і,) 2(і2) Алынган теңдікті консерватив күштің бастапқы (1) орыннан екінші (2) орынға, яғни жолы бойында, жэне (2) орыннан (1) орынға, яғни Е, қайта оралу жолында істеген жұ- |
| 7-№179 |
| емес деп аталады. Мысалы, оларға сырғанау үйкеліс күштері немесе газ (сүйық) ортада қозғалған денеге эрекет ететін кедергі күштері сияқты диссипативтік күштер жатады. Бүл күштер тек дененің орнына ғана емес, сонымен катар салыстырмалы жылдамдыктарға да тэуелді. Мы- салы, тұйық жүйелердегі кез кел- ген қозғалыс кезінде диссипативтік күштердің жұмысы үнемі теріс таң- балы болады.
Потенциалдық энергия. Егер жүйеге тек консерватив жэне гиро- скоптық күштер әрекет етсе, өзара эрекет энергиясы ретінде потен- ңиалдық энергия түсінігін қарасты- руға болады. Мысал ретінде дене мен Жерден түратын қарапайым жүйені алайық. Дене Жер бетінен онша алыс емес кашыктықта орналассын. Мұндай жағдайда Жер өрісі біртекті, ал әрекет күші түрақты деп санауға болады. Сонымен, денені (жүйені) қүраушы эрбір материялық нүктеге шамалары тең ауырлық күштері әсер етеді. Энергияның жоғарыда кел- тірілген аныктамасына сэйкес, по- тенциалдык энергия түсінігін карас- тыруға енгізу үшін жүйе бір орыннан екінші орынга ауысқанда оның кү- раушы нүктелеріне әрекет ететін күштердің жұмысын есептеу керек. Бірінші жағдайда дене Жер бетінен һх кашыктықта, екінші жагдайда һ2 кашықтықта орналасқан деп келі- сейік . Жер тыныштық қа |
| мыстарының косындысы деп карас- тыруға болады. Бұл теңдіктен мате- матикалық мынадай нэтиже аламыз:
£ғ</8 = 0. і Яғни, қатынас эрі консер- ватив күштер (күштердің потенциал- дық өрісі) анықтамасы ретінде, әрі күштердің консервативтігінің крите- рийі ретінде қарастырылуы мүмкін: а) егер кез келген тұйық траек- тория бойымен қозгалган нүктеге әрекет еткен күштің жұмысы нөлге тең болса, ондай күиі консервативті болады; б) күш консервативті бюлуы үшін оның кез келген тұйық жолда істе- ген жұмысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті. Сонымен қатар, консервативті күштер қатарына гироскоптық күштер де жатады. Бұл күштер материялық нүкте жылдамдығына тәуелді бола түрып, үнемі жылдам- дық бағытына перпендикуляр әрекет жасайды. Сондықтан материялык нүктенің кез келген козғалысы ба- рысында, оның ішінде түйық траек- ториямен қозғалғанда да, гироскоп- тық күштің істеген жүмысы нөлге тең. Физикада бірден-бір белгілі гироскоптык күш — Лоренц күші, яғни зарядталған бөлшекке магнит өрісі тарапынан эрекет ететін күш. Консервативті бола алмайтын барлық басқа күштер консервативті |
| лыпта, ал дене 1-орыннан 2-орынға ауысты деп санап, дене козғалысын тудырған эрекет күштің жұмысын
(3.15) формуламен есептейік: А = т§(һ^ — һ2). |
| Һі |
| Бұл теңдікке қарағанда т§һ фи- зикалық шама күй функциясы ре- тінде жүйеге түскен күштің жұмыс істеу қабілетін анықтайды жэне кейін көрсетілетіндей, қозғалыс- тың универсал өлшемі болады. Сонымен, т§һ шаманы консерва- тив ауырлық күші арқылы эрекет- тескен екі дене жүйесінің энергия- сын (потенциалдық) анықтау негізі деп қарастырамыз. Жоғарыда ай- тылғандай, консерватив күштер жұмысы жүйе құраушы денелер- дің тек бастапкы жэне соңғы күй- леріне, яғни денелердің координа- таларына ғана тәуелді. Бұдан жүйе денелерінің күй функциясы болатын потенциалдық энергия тек жүйені құраушы нүктелердің координатала- рына тәуелді деген қорытынды туа- ды. Денелер жүйесінің потенциал- дық энергиясын аныктау үшін шартты түрде энергиясы нөлге тең |
| ———— і
‘ т , I һі 2 |
| Еп — т§һ + соті
формуласымен анықталады. Мұнда- ғы соті — дененің нөлдік деңгейдегі (күйдегі) потенциалдық энергиясы. Егер дене Жер бетінен айтар- лықтай, мысалы, Жердің радиусы- мен салыстыратындай кашыктықта болса, Жердің гравитациялық өрісін біртекті деп санауға болмайды. Де- |
| жүйе күйін таңдап алу керек. Осыған байланысты, потенциалдык энер- гияны жүйенің энергиясы нөлге тең күйге ауысқан кездегі консерватив күштердің жүмысы аркылы өрнектеу- ге мүмкіндік туады. Қарастырып отырған мысалда энергиясы нөлге тең күй үшін кез келген жағдайды алуға болады: 1, 2-нүктелер немесе Жер беті. Нөлдік күй үшін, мысалы, нүктенің Жер бетіндегі жағдайын алайық. Онда потенциалдық энер- гия бірінші күйде т§һ^ шамасымен анықталып, екінші күйде т§һ2-те тең болады. Ал егер бастапқы күй ретінде екінші жағдайды алсак, жүйенің потенциалдық энергиясы т§(һ^ -һ2)- ге тең. Сонымен, потенциалдық энер- гия жүйенің бастапқы күйін таңдап алуға тэуелді екені, яғни тұрактыга дэлдікпен есептелетіні айқын болып отыр. Қарастырып отырған мысалда консерватив тартылыс күші арқылы әрекеттескен дене мен Жерден кұрылған жүйенің потенциалдық энергиясы |
| яғни |
| генмен, материялық нүкте жэне Жер жүйесі потенциалдық болатын центрлік гравитациялық күштер өрісінде орналасып түр. Олай бол- са, мұндай жүйеге де потенциал- дық энергия түсінігін қолдануға болады. Тек бұл есепте нөлдік күй үшін жүйе күраушы денелердіц өзара эрекетін ескермейтіндей алыс қашықтықта орналасқан жағдайын алу қолайлы. Потенциалдық энер- гияны есептеу барысында Жер қоз- ғалмайды, ал материялық нүкте (дене) оның гравитациялық өрісінде қайсыбір бірінші күйден шексіз алыстаған нөлдік күйге орын ауыс- тырады деп санаймыз . Осы түрғыдан карағанда материялык нүктеге әрекет еткен күш жүмысы нүкте мен Жер жүйесінің бірінші жағдайдағы потенциалдык энергия- сын аныктайды. |
| Мт ,
~^сіг = -у г |
| Мт
г |
| Е. = |
| Мт
-у— г |
| оо |
| Тағы бір мысал қарастырайық: созылған серіппенің потенциалдық энергиясын есептейік. Серіппені созғанда немесе қысқанда пайда бо- латын серпімділік күштері центрлік күштер қатарына жатады. Сондықтан олар консерватив болады, яғни, сер- пімділік күштер эрекет еткен жүйеде потенциалдық энергия түсінігін енгізуге мүмкіндік бар. Серіппенің созылуьш х деп белгілейік, яғни х = 1 — 10 — серігіпеніц деформацияланған (Г) жэне деформацияланбаған (/0) кез- дегі ұзындықтарының айырымы. Серпімділік Ғ күш тек созылуға не қысылуға тәуелді. Егер х қашықтық онша үлкен болмаса, Ғ = кх теңдігі орындалады (к — пропорционалдық коэффициент). Серіппе деформация- ланған күйден бастапқы дефор- мацияланбаған күйге қайтып орал- ғанда Ғ күш |
| д: х
А = | Ғсіх = хсіх 0 0 |
| һҒ_
2 |
| жүмыс істейді.
Энергияның нөлдік деңгейі ре- гінде шартты түрде деформация- ланбаған серіппенің энергиясын ала отырып, созылған немесе сығылған серіппенің потенциалдык энергиясын табамыз: |
| Е = —• (3-24)
» 2 Сонымен, қарастырылған мы- салдар нәтижелерін жалпылап, |
| дықтан, 1-0′ жолы бойындағы жұ- мыс 1-0-0 ‘жолындағы жұмысқатең:
Аю’= Аю+Аоо’ немесе Е\= ЕМоо- Мұндағы А00, жұмыс мөлшері тұ- рақты, яғни жүйенің 1-нүктедегі координаталарына тәуелді болмай, толығымен О жэне О’ нөлдік күйлер- ді таңдау шарттарымен аныкталады. |
| потенциалдық энергия шамасына түсініктеме берейік. Құраушы мате- риялық нүктелердің (бөліктердің немесе денелердің) координатала- ры берілген жүйенің кез келген бір күйі (кеңістіктегі орны) шартты түрде нөлдік күй (жағдай) деп ка- былданады. Жүйе белгілі бір қарас- тырылып отырған күйден шартты нөлдік күйге орын ауыстырғанда консерватив күштердің жүмысы жүйенің қарастырылған жағдайда- ғы потенциалдық энергиясы болады. Консерватив күштер жұмысы жүйе орын ауыстырғандағы жол піші- ніне тәуелді емес, сондықтан нөлдік күй белгіленген болса, потенциал- дық энергия шамасы тек жүйені құраушы материялық нүктелердің қарастырылып отырған күйдегі коор- динаталарымен анықталады. Деген- мен, соңғы сөйлемнен потенциалдық энергия шамасының жүйенің бас- тапқы күйіне тәуелді екені байқалып тұр, яғни бастапқы жағдайды шартты түрде таңдап алуға байланысты потенциалдық энергияның сандық мэні өзгереді. Мысалы, бастапқы күй үшін О нүктені таңдагі алсақ, нүктедегі жүйенің потенциалдық энергиясы, 1-нүктеден О нүктеге ауысқанда, консерватив күштер істейтін жұмыс- қа тең Е = А , ал егер нөлдік күй үшін О’нүктені таңдасақ, потенциал- дық энергия Е’ = А)0, болады. Әрекет етуші күштер консервативтік болған- |
| Сонымен, жүйенің потенциалдык энергиясы бірмэнді емес, тұрақты- ға дейін дэлдікпен есептеледі. Бірақ, бұл еркіндік физикалық қорытын- дыларға ықпалын тигізе алмайды, себебі физикалык кұбылыстар үрдісі потенциалдық энергияның абсолют мэніне емес, оның эр күйдегі мөл- шерлерінің айырымына тэуелді. Ал бұл айырым энергияның нөлдік деңгейін таңдап алуға байланысты емес.
Енді жүйе бір күйден екінші күйге өткенде консерватив күштер жұмысы потенциалдық энергия- ның кемуіне тең екенін дэлелдейік. Жүйе 1-нүктеден 2-нүктеге кез кел- ген жолмен орын ауыстырсын . Консерватив күштердің осындай орын ауыстыруда жасаған Аи жұмысын 1 жэне 2-күйдегі жүйенің Е жэне Е потенциалдык «і «г |
| энергиялары арқылы өрнектеуге бо- лады. Шынында, егер орын ауыс- тыру О нөлдік жағдай аркылы, яғни 1-0-2 жолмен жүргізілсе, он- да А ^ 2~А ^ 02~А ^ (+А т—А ^ 0—А 2(У По- тенциалдық энергияның аныкта- масы бойынша Е = А,„ + сопзі, Еп2=А20+С0П$(, мұнда соті — мәнде- рі бірдей тұрақтылар. Олай болса, |
| каның бұл саласында бөлшектердің өзара эрекетін тек екінші эдіс көме- гімен суреттейді.
Күштер мен потенциалдык энергия арасындағы байланысты табу үшін қатынасты мына түрде жазайық: |
| Ғсіг=-сІЕп, |
| немесе
А» = -(Е„ГЕ„У (3-25) Сонымен, консерватив күштер жұ- мысы жүйе потенциалдык энергия- сының кемуіне тең. |
Автор публикации
