20 декабря, 2017 11:52
Шар тәрізді дене тарапынан материялық нүктеге түскен тартылыс күші. Массасы т материялық нүкте сфералық координаталар жүйесінің бас нүктесінде орналассын, ал оны тартып тұрған радиусы а шардың центрі 2 осі бойында К(К>а) қашықтықта орналасқан .
|
Шардың массасы М, олай болса,тығыздығы р = ; сфералық координаталар жүйесінде көлем элементі сһ=г5ІпӨсідсі(рсІг. Осы көлемдегі мас- са сІМ=рсІ\’ координаталар басын- да орналасқан материялык нүктеге |
| сіҒ = у —; — күшпен эсер етеді. Бұл г2
күшті 2 бағытында әрекет жасай- тын сІҒ^ жэне оған перпендикуляр бағытта, яғни хОу жазықтығында орналасқан сіҒ^ екі компонентаға жіктеуге болады. 2 осі шар тэрізді дене центрі арқылы өтіп, оның симметрия осі болады. Сондықтан эрбір сім элементар көлемге сәйкес дене көлемінен 2 осіне түсірілген перпендикуляр бойында сһ’ көлем симметриялы орналаскан. Коорди- наталар басында орналасқан ма- териялық нүктеге сІМ = рі\’ масса- сы тарапынан әрекет еткен тартылыс күші сіМ массасының эрекет күшіне абсолют шама жағынан тең. |
| Ал бұл күштің бағытына келсек, сІҒ’ жэне сіҒ_ кұрастырушылары бірдей болады да, сіҒсіҒ, құрастырушы- лары сандық мәндері бірдей, бағыт- тары қарама-қарсы болғандықтан, |
| берге координаталар басынан жүр- гізілген жанама арасындағы бұрыш.
Сондықтан 5іпӨ,=~. Енді иня тегралды толық есептейік: |
| бірін-бірі теңестіреді. Сондыктан әрекет етуші күштің тек 2 бағытын- дағы кұрастырушысын қарасты- рамыз. Бұл ойларды кез келген сЫ элементар көлемге колдануға бола- ды. Сондықтан косынды күш г осі бағытында әрекет етеді, олай болса, көлемнің эр элементар бөлігінің әрекет күшін есептегенде тек 2 ба- ғытындағы құраушысын алып, жазу ыкшам болу үшін сіҒ }\сп белгілейміз:
сІҒ = ү С05^. — ү тр СО50 5іп0 сігсі 0 г |
| 0|
/ = 2п 12ліа2 — К2 зіп2Ө созӨ8ІпӨ<іӨ = 0 . «(С П—„2 ■ 2» ^(-/?25Іп2ө) = -2тс ) 2Ұа» — К 8іп Ө —^———- Ы |
| К1 |
| 2 к |
| ~(а2 -К2 5Іп2ө}Г2 |
| 4л з 1
— а —г |
| Осы мэнді койсақ, |
| ал толық күш |
| Ғ = у»;р|со8Ө5ІпӨ</гй?Өг/ф. |
| Бұл өрнектегі интегралды бөлек есептейік:г=ОВ (р=2 л |
| I |
| = | созӨ 8ІпӨ сІЫ Ө 4<р = |созӨ8ІпӨ</Ө |Лр |
| -ОА <р=0 |
| немесе |
| ө,
/ = 2л |/(б)со8Ө зіпӨ <і Ө, (2.32) 0 мұнда хорда /1В=/(Ө), өйткені оның ұзындығы әр бағытта әр түрлі. Теңбүйірлі үшбұрыш АОА В-дан 0£’=/?8ІпӨ екенін ескере отырып, 0 бұ- рыш бағытындағы хорда ұзындығын табамыз: /(Ө)= 2уІа2 — К2 зіп2Ө. |
| Интеграл шегі Ө, — 2 осі мен шең- |
| „ тМ Ғ = ү —— К2 |
| яғни дене материялык нүктеге тү- гел массасы өзінің центрінде жинак- талғандай эрекет жасайды.
Сондықтан шар тэрізді денелер- дің өзара әрекетін материялық нүк- телердің өзара әрекеті сияқты ка- растыруға болады. Сфералык қабаттың өзінен тыс орналасқан материялық нүктеге эре- кет күші (2.33) формуламен есепте- леді (М- сфералық қабат массасы). Сфералық қуыстагы күштер. Қалыңдығы сіг шексіз жұқа сфера- лық қабат тарапынан О материялық нүктеге жасалған эрекетті қарас- тырайық (2.8-сурет). О нүктесінен сЮ денелік бұрышпен көрінетін сфералық қабаттың ауданы сй), мас- сасы рсІгсІЗ^ бөлігін аламыз. Осы белікке симметриялы орналаскан сІ52 |
| бөлік О нүктесінен сол сіО денелік бұрышпен көрінеді. Бұл бөліктің массасы рсІгсІ82. зерттеліп отырған есеп сұлбасының осы симметриялы екі ауданды косып тұрған сызык пен сфералық кабат центрі О’ арқылы өткен жазыктықтағы қимасы көрсетілген. |
| Массасы т(О) материялық нүкте- ге симметриялы бөліктердің эрекет күштері қарама-қарсы бағытталған, бірақ өзара тең:
ЛҒ\=чтрсігЩ-\ сіҒ2 = утр4г^-. П Г2 СІ8, 48, жэне —~ шамалары аудандар- Г\ Г2 ды О нүктесінен көретін денелік бұрыштар емес екенін атап өтейік, себебі олардың беті радиустарға перпендикуляр емес. Қарастыры- лып отырған аудандардың ортасы арқылы радиусқа перпендикуляр жазықтар жүргізіп, осы жазыктарға сі8г с/8, аудандардың проекцияла- рын оларға сэйкес с/8^’ жэне с182 деп |
| белгілейік. Бұл жазықтар мен жанама жазыктар арасындағы бұрыштар хорда ұшындағы жанамалар тура- лы теоремаға сэйкес екі аудан үшін бірдей, яғни = Ө,= Ө. Сондықтан сі81′ = г/^созӨ, с!82‘ = сІ82со$Ө Олай болса, мына түрде қайта жазуға болады:
ІР , 45; і 4Қ = ү трсіг —у— К СО80 1 //-Ч Л |
| сіҒ2 = у трсіг ——- -.
гг со$Ө с- • 45,’ 48’, Ьірақ енді мұндағы 1 = 40 Г\ Г2 — О нүктесінен 45, жэне сі8, аудан- дары көрінетін денелік бұрыштар. Олай болса, сіҒр сІҒ, күштері бірін- бірі теңестіреді. Сондықтансфералык қуыс ішінде орналасқан материялық нүктеге шексіз жұка сфералык кабат тарапынан эрекет еткен толық күш нөлге тең. Қалыңдығы шекті сфералык кабатты шексіз жұка кабаттардың жиынтығы деп санауға болар еді, олай болса, келтірілген тұжырым- дама қалыңдығы кез келген сфера- лык куыстар үшін де дұрыс болады. |
| . |
Автор публикации
