15 декабря, 2017 20:22
Планеталар қозгалысы. Бірінші жуықтауда Күн қозғалмайды деп са- нап, планеталар арасындағы өзара әрекет күштерін ескермеуге болады. Планета массасын т, Күн массасын М арқылы белгілеп, соған сәйкес бірін материялық нүкте, екіншісін күш центрі ретінде кабылдайык. Координаталар жүйесінің бастау нүктесін Күн центрінде орналастырамыз. Осылай болғанда, планетаның козғалыс теңдеуі
| тМ г
х — |
| сіо
т— — -ү , |
| Осы теңдіктің сол жағына гео- метриялык мағына берейік . Суреттен көрінгендей, (г усіг) векторлық көбейтінді абсолюттік мәні бойынша г жэне сіг векторла- рынан құрылған үшбұрыштың екі еселенген аудаңына тең:
|(ГХ(7г)| = |гI |^Уг|8Іп(Г, <7г) = = гс/г8Іпа = гйһ = 2 сІ8. (3.84) |
| түрінде жазылады, мұндағы г — пла- нетаның радиус-векторы.
Материялық нүктеге әрекет ететін күш радиус-вектор бойы- мен бағытталған. Бұл күштің күш центріне карагандағы моменгі нөлге тең болғандықтан,моменттер теңдеуі мына түрге келеді: = М = (г х ғ)= 0. (3.80) сһ |
| Сонымен, материялық нүкте — им- пульсінің күш центріне салыстыр- малы моменті — модулі бойынша да, бағыты бойынша да тұракты шама:
Ь = (г х т\)) = соті. Бұл теңдікті басқа түрде де жазуға болады: ш(г х г)= сопаі. Бұдан <7г = ыһ элементар орын ауыстыру жэне г радиус-вектор Ь-ға перпендикуляр жазықтықта жата- тындары көрінеді. Бұл — қозғалыс үнемі бір жазықтықта жүреді, яғни қарастырып отырған жағдайда жазық қозғалыс болады деген сөз. Енді жоғарыда айтылғандай, Кеплердің екінші заңы өрнектің, яғни импульс мо- менті сақталу заңының тура салдары екенін дәлелдейік. Шынында, (3.81) теңдікті былай жазуға болады: (гх<Уг)= — сһ.
|
|
(гх<7г) векторы г жэне сіг векторла- ры жатқан жазық бетке перпенди- куляр. Егер с18 элементар жазықтык алсақ, ол өзінің шамасы мен кеңіс- тіктегі бағыты арқылы толық сипат- талады. Ал жазықтықтың кеңістік- тегі орны, өз кезегінде, оның бетіне түсірілген перпендикуляр бағыты- мен анықталады. Сондықтан жа- зықтық элементін сол бетке перпен- дикуляр, сандық мэні жағынан ауданына тең <78 вектормен сипат- тау көңілге қонымды сияқты. Енді тек бағыт туралы келісімге келу қажет. Арнаулы келісім бойынша бағытты оң бұранда ережесімен анықтайды: бұранда басын бірінші г вектордан екінші <7г векторға сағат тілінің айналу бағытымен бұрғанда, бұранданың ілгерілемелі қозғалысы |
| Сақталу заңдары |
| <78 векторының оң бағытын көрсете- ді. Сонымен, жазық беттің элементі
</8 = ~ (г х <Уг) вектормен берілетін бол- ды, олай болса, теңдеуді мына түрде жазамыз: = 2т Ь тұрақты болғандықтан, бұл тең- діктің екі жағын да интегралдап, төмендегідей нэтиже аламыз: 8-80 =-(/-/„) немесе Д8 = —Д/.(3.86) 2 т 2 т Соңғы формула — Кеплердің екін- ші заңының математикалык өрнегі. Бұл заң бойынша, жоғарыда айтыл- ғандай, бірдей уақыт аралықтарында планетаның радиус-векторы бірдей аудандарды басып өтеді. Кеплердің бірінші заңын дэлелдеу үшін орбита жазықтығында жатқан полярлық координаталар жүйесін қолданайық. Элементар сіг орын ауыс- тыруды екі кұраушыға: г радиуске перпендикуляр (б/г)<р-ге жэне г бойы- мен бағытталған (с/г)г-ге жіктейміз Бірінші орын ауыстыру қозғалыс кезіндегі ф бұрышының өз- геруімен, екінші құраушы планета мен координаталар бас нүктесі ара- сындағы г қашықтықтың өзгеруімен байланысты. Координаталық ф бұры- шының жэне г радиусының өзгеру- лерінің оң бағыттарын белгілеу үшін оларға сэйкес е<? жэне ег бірлік век- |
| торларын енгізейік. Онда с/г орын ауыстыруды мына
сіг = еф(йіг)(р + еД</г)г формуламен өрнектеуге болады. |
| (ІТ |
| (сіг) радиусы г шеңбердің элемен- тар доғасы болғандықтан (с/г) = «/ф, ал (сіг)г -г вектор модулінің өзгеруі, яғни (сіг)=сіг, сондықтан былай түрленеді:
б/г = е^гс/ф +ссіг. Соңғы теңдіктің екі жағын да орын ауыстыру уақыт аралығына бөлсек, |
| сіг
V = — = е, |
| г |
| </ср
— + е,. |
| ^=ел+ег°г> (3—89) |
| </ф . СІГ
мұндағы V = г —5— = гф; иг=— = г. аі аі Енді (3.89) теңдіктің екі жағын да квадраттап, еф және ег векторлары өзара перпендикуляр болғандықтан, олардың скалярлық көбейтіндісі нөлге тең екенін е е=0 ескерсек, жылдамдық квадраты үшін мына формуланы аламыз: о2 = о2 +ог2 = г2ср2 +г2. |
| рады. Сондықтан аталған теңдеулер- ден уакыт бойынша тэуелділікті жоя-
мыз. Теңдеуден (р = -^у екені тг~ көрінеді. Осы мэндітеңдеуге енгіземіз. Әрі карай шешу барысы колайлы болу үшін |
| Енді (3.81) формулаға г радиус- вектордың мэнін г=е хг түрінде жэне (3.89)-тен н жылдамдық векторының мэнін қояйық. Векторлық көбейту ережесін ескергенде:
Ь = тг2ф (ег х еф )= сои.?/. |
| Мұндағы (е^хе^) вектор қозғалыс жазықтығына перпендикуляр бірлік вектор болады. Сонымен, Ь векто- ры қозғалыс жазықтығына нормаль, ал оның абсолют шамасы полярлык координаталар жүйесінде тұрақты:
Ь = тг2ф = сопзі . Физиканың мектеп курсынан ки- /ио2 ■ нетикалық энергияның —форму- ласы арқылы анықталатыны белгілі. Ал Күн мен планетаның өзара әрекет потенциалдық энергиясын эзірге корытусыз алсақ, онда: ть2 тМ —- ү—- = 1 г т (.2 2 • 2Л = — )— ү—— = СОП5І. Полярлык координаталар жүйесін- де энергияның сакталу заңы осылай беріледі. Сонымен, г(/) жэне ф(7) екі белгі- сіз үшін (3.92) жэне (3.93) екі теңдеу бар. Олай болса, зерттеліп отырган қозгалысты толық қарастыруға мүм- кіндік жеткілікті болып отыр. Дәл қазір бізді траектория түрі кызықты- |
| Р |
| г |
| Осы жэне мэндерді теңдікке кояйық: |
| функциясын алып, г уақыт бойынша күрделі г(і)=г[<р(і)] функция екенін ескерсек,
</г _ <1г <Лр _ <1 ( 1 ) Лр _ 1 сір һ _ I ф <Й </ф <Һ </ф(р)Л р2 </ф тгг т </ф |
| 2 2т М + Р ~Ү г, Р |
| = сопзі. (3.95) |
| Соңғы теңдеуді ф бойынша тағы бір дифференциалдап, |
| ^ + Р=С (3.96)
«Ф |
| өрнегін аламыз, мұнда С = > о.
(3.96)-теңдеудің жалпы шешімі кеңі- нен белгілі: |
| р = С + Лсозф + 5зіпф, (3.97)
мүндағы А жэне В — бастапкы шарт- тардан анықталатын тұрактылар. Бұл шешімнің оң жағын былай түрлендіруге болады: |
| р = С + А сокф + В зіп ср =С + л/А2 + В~ |
| 4а2 + в |
| С05ф + |
| В |
| лі А2 + В2 |
| 81Пф |
| = С + ЛІА2 + В2 (сО5ф0 X С08ф + 8ІПф() X 5ІПф)= С + VА1 + В2 СОк(ф -ф0)=
= с |
| (3.98) |
| , VА2+В2 , ч
1 +—————— С05(ф -фо ) |
| = -[і + есо<ф-ф0)] , Р |
| мұндағы |
| 1 1}
Р ~ ~~ 2 і / ’ с ут М |
| УІА2 + В2 |
| СО8ф0 = |
| Га |
| 2 + в2 |
| с
зіпфо = |
| В |
| уіА2+В2 ‘ |
| гелийге қарсы нүкте — афелий. Коор- динаталар жүйесінің осін, жоғарыда айтқандай жүргізсек, Ф0=0 болуы керек, онда қарапайым түрге келеді: |
| Сонымен, планета қозғалатын қисық формуласы полярлық коорди- наталар жүйесінде мына түрде жазы- лады: |
| г — |
| р
1 + есо8ф |
| — = г = ——- ү—— ч .—————-
р 1 + есо8(ф-ф0) Бүл қисық конустық қима екені, яғни конусты жазықтықпен қиғанда пайда болатын сызық екені аналитикалық геометриядан белгілі. р шама орбита параметрі, е тұрақты эксцентриси- тет деп аталады. Конустық қима не шеңбер (е = 0), не эллипс (е < 1), не парабола (е= 1), не гипербола (е > 1) болуы мүмкін. (3.99) -ға қарағанда Ф = Ф0 болған- да, г=гтт ең аз мән қабылдайтынын байқаймыз. Сондықтан полярлық коор- динаталар жүйесінің осін планета- ның тартылу центріне ең жақын кел- ген орны арқылы жүргізген ыңғайлы. Бүл нүкте (орын) перигелий деп ата- лады. Эллипстік орбитадағы пери- |
| Егер планета эллипс бойымен қоз- ғалса, |
| Р
1-е |
| Планетаның тартылу центріне ең жақын жэне ең алыс орындарын- да, яғни перигелий жэне афелий нүктелерінде оның радиалдық жыл- дамдығы нөлге тең (г = 0), басқаша айтқанда, жылдамдық траекторияға жанама бойымен бағытталған.
Кеплердің үшінші заңын эллипс- тік орбита бойымен қозғалыс жағ- дайында дәлелдеу үшін фор- муланы мына түрде жазайық: 5 = — Т, (З.Ю2) 2 т мүндағы 5 — эллипс ауданы; Т — ай- налу периоды. Геометриядан белгілі болғандай, эллипстің ауданы 5 = пав |
| а — |
| формуладан жарты осьтердің мэндерін табамыз: |
| Вұдан |
| 1 = |
| Екінші жағынан, қолданып, Е-ды анықтаймыз: |
| т
УІуМр ‘ |
| Тг 4тг82 _ Лт2п2а2в2 _ 4яУ (3 Ю6) ІІ т2уМр уМ
Бұған карағанда, айналу периодының квадраты тек орбитаның үлкен жарты осіне тәуелді және оның кубына про- порционал. Жоғарыда келтірілген есептеу- лерде тартылу центрі тыныштық калыпта деп, яғни, орталык дененің — Күннің массасы өте үлкен деп алын- ды. Әрине, іс жүзінде Күннің мас- сасы шектеулі, сондықтан зерттеліп |
| Ақыры, (3.102)-ден 7^-ты есептеп, (3.103) жэне (3.104) формулаларды колданайық: |
| отырған дене де, орталық дене де олардың ортақ массалар центрін ай- нала қозғалады, яғни, шын мәнісінде, эңгіме екі дене қозғалысы туралы бо- луы керек. Біз әсері Күн мен нақты планета арасындағы негізгі өзара әрекетке қарағанда анағұрлым аз пла- неталар арасындағы өзара әрекетті де ескермедік. Осы айтылған қосымша факторларды есепке алатын үйытқу теориясы біршама жақсы дамыған. Аталған теорияның мэнісі мынада.
Негізгі қозғалыс ретінде барлық қосымша өзара эрекеттер жоқ деп саналатын ұйытқымаған қозғалыс алынады. Әрі қарай ұйытқымаған қозғалысқа қосымша өзара әрекет енгізетін өзгерістер есептеледі, яғни қозғалыстың ұйытқуы анықталады. Қосымша күштер өте кішкентай болғандықтан, үйытқу да аз бола- ды. Үйытқу шамасының дэл мәндері саны шексіз мүшелер қатары түрінде беріледі. Бірақ бүл мүшелердің са- ны арткан сайын мэні тез азаяды, сондықтан ақтық нәтижені жақсы дэлдікпен алу үшін, әдетте, шексіз қатардың бірінші немесе бірнеше бастапқы мүшелерімен шектеледі. Осы эдістің арқасында планеталар- дың қозғалысын өте жақсы дэл- дікпен зерттеуге мүмкіндік туады. Ал тәжірибелік бақылаулардың да жоғары деңгейде жүргізілетінін атау керек. Сонымен, ғылымның бүл са- ласында теория мен тәжірибенің арасындағы үйлесімдік өте жақсы деуге болады. |
| Кометалардың қозгалысы. Күн
жүйесіне жатпайтын аспан дене- лерін кометалар деп атайды. Күн жүйесінен алыс аймақтардан ұшып келген олар гиперболалык орбита- мен Күн маңымен өтіп, Күн жүйе- сін мәңгілік тастап кетеді. Деген- мен, комета деп аталып, бірақ, шындығында, планеталар сияқты өте созылған эллипстік орбиталар бойымен қозғалатын аспан денелері белгілі екені рас. Оларды, Күн жүйесі аймағында өте сирек байқалғанмен, планета деп атаған дүрысырақ бо- лар еді. Осы тэрізді кометалар ішінде аты көбірек белгілінің біреуі — Гал- лей кометасы. Мүндай кометалар өте үзаққа созылса да (үлкен жарты осі кіші жарты осьтен көп үлкен), бір фокусында Күн орналасқан түйық эллипстер бойымен қозғалғандық- тан, олардың қозғалу заңдылықтары жоғарыда баяндалған планеталар заң- дылықтарымен бірдей. Сондықтан шын кометалар үшін бірнеше тұжы- рымдамалармен шектелейік. Коме- талардың орбитасы гипербола екені белгілі. Кеплердің екінші заңына сәйкес, олардың радиус-векторлары тең уақыт аралығында тең ауданды басып өтеді. Осының салдарынан тар- тылыс центріне жақындаған сайын кометаның жылдамдығы өсе беріп, сол центрге ең жақын орналасқанда жылдамдық ең үлкен мэніне жетеді. Бұл мезетте радиус бағытындағы центрге жақындау жылдамдығы, керісінше, нөлге тең болады. |
| Кометалардың ең бір ғажайып ерекшелігі — олардың Күннен қарсы бағытта ұзаққа созылған жарқы- рауық «құйрығы». Ол Күн сәулелерін шағылыстырған газдан туады. Жар- қыраған «қүйрықтың» Күнге қарсы жаққа созылуының табиғаты — Күн сэулелерінің қысымы. Көрінерлік жэне көрінбейтін сэулелермен қатар, эсіресе, Күн сәулелері құрамында бо- латын протондар қысымының үлесі көбірек болады.
Күнге жақын өткен кометаның траекториясының қисықтығы оның жылдамдығына тәуелді. Жылдам- дық неғұрлым үлкен болса, соғұр- лым қисықтық аз болады, тіпті жылдамдыққа байланысты комета траекториясы түзу сызыққа жақын болуы мүмкін. Жарық сәулесінің Күн тарты- лыс өрісінде ауытқуы. Материялық денелер траекториясының тартылыс өрісінде қисаюына байланысты осы өрістің жарық сәулесіне әсері туралы сүрақ туады. Егер бұл эрекет қатты денелерге жасалған әрекеттей болса, жарық сэулелері тартылыс өрісінде түзу сызық бойымен таралмайды. Мүндай ой ертеден пайда болып, 1804 жылдың өзінде Күн тартылыс өрісінде сәуленің ауытқуы есеп- телген болатын. Бірінші жуықтауда сәуленің қозғалыс траекториясын түзу сызық деп санауға болады. Кор- пускулалық теория тұрғысынан жарық — фотондар жиынтығы екені |
| физиканың мектеп курсынан белгілі. Тартылыс өрісі фотондарға оның траекториясына перпендику- ляр бағытта үдеу береді. Осының нэтижесінде фотон жылдамдықтың перпендикуляр кұраушысына ие болады, ал бастапқы бағыттан Дф ауытқу бұрышы импульс моментінің сақталу заңы негізінде есептеледі. Сэуле Күн бетіне өте жақын өтеді дей отырып, яғни г0 Күн радиусына тең деп санап, 1804 жылы Дф«0″,87 екені табылды. Бірақ көпке дейін алынған нәтижені тэжірибе жүзінде тексеруге мүмкіндік болма- ды. Кейінірек, салыстырмалылық- тың жалпы теориясы құрылғанда, бұл ауытқудың бұрынғыдан екі есе- дей үлкен мэні Дф ~ 1″,75 табылды. Болжаудағы мұндай айырмашылық, бір жағынан, ғылымның ары қарай дамуына қолайлы болды: яғни «қай теория дұрыс?» деген сұраққа бірден жауап беруге болатындай жағдай туды. Сондықтан 1919 жылғы Күн тұтылуы кезіндегі арнаулы өлшеулер нәтижелерін көпшілік асыға күтті. |
| Ф С |
| Тәжірибелер негізінде мынадай ой болған еді. Күн тұтылуы кезінде оның маңайындағы жұлдыздарды фотоға түсіріп алу керек. Сәуленің ауытқуына байланысты, жұлдыз- дардың фотопленкадағы орны олар- дың Күн дискісінен көрінетін ал- шақтығына сэйкес болады. Ал бұл жұлдыздардың осы уақыт мезетіндегі шын орны күнделікті астрономия- лық бақылаулардан өте жоғары дэл- дікпен анықталған. Белгілі шын орны мен фотопленкадан көрінген орны арасындағы айырмашылық іздеп отырған Аф ауытқу бұрышына тең болуы керек. Зерттеу нәтижелеріне карағанда, салыстырмалылық тео- риясының болжамы классикалық теорияның болжамынан дәлірек екені күмэн тудырмайды. |
Бірақ, эрине, 1804 жылы фотон қозғалысын есептеуде Галилей-Нью- тон механикасында, яғни жылдам- дық жарық жылдамдығынан біршама аз болатын мәндерінде дұрыс бола- тын қатынастар қолданылғанын, ал жарық жылдамдығына жуық жыл- дамдықтарда өз ретінде классикалық болып кеткен, яғни қазір ешкім күмэнданбайтын Эйнштейннің реля- тивистік теориясының заңдарын қол- дану керектігін естен шығармау ке- рек. Салыстырмалылықтың арнайы теориясының негіздері кейін 4-тарауда қарастырылады.
Автор публикации
