18 декабря, 2017 22:31
Қатты дене козғалысының ең бір қарапайым түрін қарастырайық. Дене бекітілген тік осьті айнала
қозғалсын. Айналу осінде О нүктесін таңдап алып, дене нүктелерінің оған салыстырмалы орнын г. радиус векторлармен өрнектейік Дененің і нүктесінің осы О нүктесіне салыстырмалы импульс моменті
| Ь=(г.хтт) = т.(гх«)
формуласымен есептеледі. Импульс моменті векторының бағыты векторлық көбейту ережесіне сэйкес анықталады. Ь. векторы айналу осі мен массасы т. материялық нүкте жатқан жазықтықта орналасады, яғни г. векторына перпендикуляр. Қатты дененің қорытқы импульс моментін анықтау үшін Ь бағыттарын ескеру керек, яғни векторлық шамаларды немесе олардың бөліп алған бағыттарға проекцияларын қосу керек. Әрі қарапайым, эрі көрнек- ті болғандықтан, екінші мүмкіндікті пайдаланайық. Айнала қозғалған біртекті дененің қорытқы импульс моменті айналу осімен бағытталған ю бүрыштық жылдамдығымен ба- ғыттас екені 6.1-суреттен көрініп түр. Демек, ХЬ. корытқы импульс моментін есептеу үшін эрбір Ь. век- торының айналу осіне проекциясын тауып, оларды өзара қосамыз. Дененің барлык нүктелері үшін г жэне ң. (жылдамдық) векторла- ры өзара перпендикуляр. Сондықтан (6.4) теңдеуді скалярлық түрде былай жазуға болады: |
| Ь = т.г.о. — т.г.со К ,
I III II г мұнда К. — дене бөлшектерінің айна- лу радиусы. |
| Ь. векторының 2 айналу осіне проек- циясы
Ь = Ь С08а = т К2со 12 I II формуламен өрнектеледі. Онда ай- налған біртекті дененің корытқы им- пульс моментінің модулі мына тең- дікпен анықталады: N N £ = ІХ=®І>Л2, (6.5) 1=1 1=1 мұндағы N — жүйені қүраушы бөл- шектер саны. Импульс моменті Ь мен бұрыш- тық жылдамдық со айналу осі бойында бір бағыттас болғандықтан, формуланы векторлық түрде былай жазуға болады: N һ^ы^т^К; . і=і |
| Алынған формула айналу осіне сәйкес дененің инерция моменті деп аталатын жаңа физикалық шаманы енгізуге мүмкіндік береді:
/ = Х>Д2. і=і Инерция моменті — аддитивтік қасиеті бар скалярлық шама. Бүл кез келген дененің өзіндік ішкі қасиеті, яғни масса сияқты дененің айналуы- на байланыссыз қолданылады. Кез келген дененің, оның тыныштык калпына не айналып тұрғанына кара- мастан, анықталған оське сәйкес бел- гілі инерция моменті бар. жэне формулалардан мынадай нэ- тиже аламыз: Ь = Ісо. Тұйык жүйелер үшін өрнек маңызды қорытындыларға экеледі. Мысалы, оқшауланған жүйе үшін һ=сопхІ, яғни Ііо=соп.чІ. Демек, жүйеде масса үлестірілуінің өзгеруі мүмкін болса, басқаша айтқанда, инерция моменті өзгерсе, бұл бү- рыштық жылдамдықтың өзгеруіне себеп болады. Мысалы, биші тік осьті баяу айнала бастасын. Бұл кезде оның қолы мен бір аяғы айналу осі- не перпендикуляр жағдайда болады. Мүндай күйге бишінің шамасы үлкен инерция моменті мен кішкентай сох бұрыштық жылдамдығы сәйкес. Енді, |
| егер биші бастапқыда перпендику- ляр орналасқан аяқ-қолдарын айналу осіне параллель қалыпқа келтірсе, оның , инерция моменті азайып, импульс моментінің сақталу заңына сәйкес бұрыштық жылдамдығы өсу- ге тиіс. Осылай қол мен аяқтың орналасуын өзгерте отырып, айналудың бұрыштық жылдамдығын реттеуге болады.
Енді біртекті емес дененің айналуын қарастырайық. Пунктир сызықпен т. осін айналатын біртекті денені бөліп қоялық. Біртекті емес дененің О нүк- теге қарағандағы импульс моменті со вектормен бағыттас емес. 6.2-су- реттен байқағандай, бүкіл дененің О нүктеге сәйкес қорытқы импульс моменті айналу осінен ауытқиды. Де- не оське бекітілгендіктен және оны айнала қозғалғандықтан, қозғалыс- ты бейнелеу үшін осы айналу осіне сәйкес моменттер теңдеуін қолданған қолайлы: сіЬ ~Г = М: аі мұндағы ;=і і=і ал М_- сыртқы күштер моменттері- нің 2 осіне проекцияларының қосын- дысы. |
| Қарастырылып отырған мысалда сыртқы күш моменттеріне т§ ауыр- лық күш моменті, подшипниктердің оське бүйірлік қысым күштерінің (ғ, жэне Ғ, күштер) моменттері, подшипник жақтауының ернемекке (фланец) қысым күшінің (Ғ3) моменті жатады. Айтылған барлык күштер- дің моменттері айналу осіне перпен- дикуляр, демек олардың оське проек- циялары нөлге тең.
Сонымен, М = 0, Ь = соті бол- ғандықтан, 2 осіне қарағанда импульс моментінің сақталу заңы орындала- ды, яғни дене бірқалыпты айналады. Дэл осындай қорытындыға бір- текті дене айналғанда да келеміз. Оның қозғалысын суреттеу үшін Біртекті денеге тек екі күш: ауырлық күші жэне айналу осі бойында оған карсы бағытталған тірек реакциясы әре- кет етеді. Олай болса, М = 0 жэне Ь = соті, яғни импульс моментінің сақталу заңы орындалады, соның салдарынан дене, мысалы, 2 осін бір- қалыпты айналады. |
| ось қана — симметрия осі бекітілген. Қалған екі ось ретінде дене инерция центрі арқылы өтетін, симметрия осіне перпендикуляр жазык бетінде жатқан кез келген өзара перпендику- ляр екі бағыт алынуы мүмкін. Шарда бас инерция осьтері инерция центрі арқылы өтіп, өзара перпендикуляр үш симметрия осі бойында жатады. |
| Симметриялы біртекті жэне сим- метриялы емес біртекті денелер коз- ғалыстарының ұқсас болуы олардың қозғалмайтын осьті айналуларына байланысты. Бұл кезде, жоғарыда айтылғандай, айналу осьтеріне эр түрлі сырткы күштер әрекет жасай- ды. Симметриялы біртекті дене ай- налғанда подшипниктердің оське тү- сіретін бүйір қысым күштері (Ғ, жэне Ғ2) байқалмайды. Егер ауырлық күші болмаса, тіпті подшипниктерді алып тастауға болар еді: соның өзінде ось кеңістіктегі орнын өзгертпес еді. Сыртқы күштер жоқ жағдайда дене айналғанда өзінің кеңістіктегі орнын сақтайтын осьті дененіц еркін осі деп атайды.
Пішіні қандай болса да, масса- сы кездейсоқ үлестірілген кез кел- ген дене үшін оның инерция центрі арқылы өтетін жэне оның еркін ось- тері бола алатын үш өзара перпенди- куляр осьті көрсетуге болады. Олар- ды дененің центрлік бас инерция осьтері деп атайды. Төмендегі сондай центрлік бас инерция осьтері біртекті параллелепипед, цилиндр жэне шар үшін бейнеленген. Біртекті парал- лелепипедте центрлік бас инерция осьтері қарсы жақтардың центрлері арқылы өтеді, яғни барлық үш ось дененің анықталған нүктелері арқы- лы жүреді. Осьтік симметриясы бар денеде (біртекті цилиндрде) тек бір |
| Центрлік бас осьтерге сәйкес инерция моменттерін дене инерция- сының центрлік бас моменттері деп атайды. Жалпы жағдай үшін бұл моменттер бірдей емес. Мысалы, шар үшін 1=1=1 болғанмен, цилиндр- де /,^/2; /2=/3, ал параллелепипедте
/,#2#з- Пішіні кез келген дененің центр- лік бас инерция моменттері өзара тең болулары үшін оның массасы белгілі бір ретпен үлестірілуі қажет. Ондай ерекше денелерді шарлық зырыл- дауық дейді. Мұндай денелердің инерция центрі арқылы өткен кез кел- ген ось еркін осьтердің қасиеттеріне ие болады, яғни центрлік бас осьтер- дің ешқайсысы бекітілмеген. 1=12Ф /3 шарты орындалатын денелер біртекті айналатын денелер сияқты болады, |
| оларды симметриялы зырылдауъщ- тар деп атайды. Керісінше, /: Ф /, Ф /3 шарты орындалса, ондай денелер- ді симметриясыз зырылдауықтар дейді.
Егер дене сыртқы күштер жоқ кез- де айналса, онда оның тек инерция моментінің максимум жэне мини- мум мәндеріне сэйкес центрлік бас осьтерді айналуы ғана орнықты бо- лады. Ал аралық моменттерге сәйкес осьтерді айналу процесі орнықты болмайды. Яғни, дене центрлік бас осьтерден сэл ауытқыған осьтерді айналып қозғала бастағанда гіай- да болатын күштер, егер инерция моменті аралық мэндерге ие болса, ауытқу шамасын өсіре түседі, ал дене орнықты осьті айналса, керісінше, ол ауытқуды азайтады. Егер сыртқы әрекет етуші күш болса, мысалы, дене жіпке ілініп тұрса, инерция моментінің ең үлкен мэніне сәйкес болатын центрлік бас осьті айналу ғана орнықты болады. Мысалы, шеткі нүктелерінің біреуін- де жіпке ілінген дискіні жіппен қоса оның диаметрінің бойында жатқан осьті айналдырайық. Сонда айналу жылдамдығының бір анықталған мэнінде диск оның инерция центрі арқылы өткен, бетіне перпендикуляр осьті айнала бастайды. |
Автор публикации
