7 декабря, 2017 19:59
Векторларды қосу және алу. Екі
вектордың қосындысы сол векторлардан тұрғызылған параллелограм- ның диагоналіне тең
|
|
| Векторды үшбұрыш ережесіне сүйене отырып қосу едэуір ыңғайлы. Бұл ереже бойынша екінші век |
| тордың басын бірінші вектордың аяк жағымен косып, содан кейін бірінші вектордың басынан екінші вектордың аяқ жағына қорытынды вектор жүргізу керек . Бұл тәсіл, эсіресе, саны екіден көп векторларды қосқанда ыңғайлы |
| Екі вектордың айырымын табу үшін параллель жылжыта отырып, олардың басын түйістіргеннен кейін азайтқыштың аяғынан азайғыштың аяғына дейін қорытынды вектор жүргізу керек |
| Ах = |А|со8ф
шама А векторының х осіне проек- циясы деп аталады (1.9-сурет). Вектор проекциясы вектор белгі- ленген эріппен белгіленіп, проекция түсірілген ось бағытын анықтайтын индекс қосылады. Вектор проекция- сы — алгебралық шама, оның таңбасы созф таңбасымен анықталады. |
| Векторды скалярга кобейту. Век- тор А-ны а скалярға көбейту нәти- жесінде модулі бастапкы А векторы- нан а есе үлкен В = аА вектор аламыз. Егер скаляр оң таңбалы болса, жаңа В векторының бағыты А векторымен бағыттас, ал егер а теріс таңбалы бол- са, қарсы бағыттас болады.
Вектор проекциясы. Вектор А х осімен ф бүрышын кұрсын. Онда |
| Векторлар қосындысының бір ба- ғытқа проекциясы 1.10-суретке қара- ғанда қосылғыш векторлардың сол бағытқа проекцияларының қосын- дысына тең. Яғни, |
| А = А, + А + А, + … + А
12 3 п |
| болса, |
| А =А, + А, +А, +… + А
х І.г 2х Зх п |
| С вектордың модулі мына теңдік- пен анықталады:
|С| = |А| |В| кіп(А В). Векторлар арасында бұрылу бұры- шы ең кысқа жолмен есептелгендік- тен, үнемі л-ден кіші болады, сондыктан зіп(АВ) — эркашан оң таңбалы сан. Векторлық көбейтінділер үшін мынадай ережелер орындалады: А х В = В х А: А х (В + С) = А х В + А х С; |
| Скалярлық көбейту. Екі А және В векторларының скалярлық көбей- тіндісі деп олардың модульдерінің жэне араларындағы бұрыш коси- нусының көбейтіндісін айтады:
АхВ = |А| |В| со§(А В). Скалярлық көбейтінділер үшін мынадай ережелер орындалады: А*В = В^А; Ах(В+С) = АхВ + АхС; АхаВ = аАхВ = а(АВ), мұндағы а — кез келген сан. Векторлық көбейту. А жэне В векторларының векторлык көбей- тіндісі төмендегі теңдеумен өрнек- теледі: А х В = [АВ| = С. |
| А және В векторларының бағыт- тарына байланысты С векторының бағыты оң бұранданың ережесімен анықталады: егер сәйкестендіру үшін А векторынан В векторына оң оюлы бұранданың басын ең қыска жолмен бұрсақ, бұранданың ілгерілемелі қоз- ғалысы С векторымен бағыттас болады |
| А = | А|п.
Декарттык координаталар жүйе- сінде бағыттары координаталык ось- тер бағыттарымен сәйкес ег, е , е бірлік векторларын қарастыруға енгізейік |
| Оларды, эдетте, координаталық осьтер орттары деп атайды. Үш орт координаталар жүйесін толық анык- тағандықтан, оларды координаталар жүйесінің базисі деп те атайды. Су- реттен байқағандай, кез келген век- торды орттардың сызықтык комби- нациясы түрінде беруге болады:
А =Аг е + Ау ег + А_ е . (1.11) Осыған сәйкес вектор модулі А2 = Ах2 + Ау2 + Аг2 (1.12) арақатыспен анықталады. Индекстері бірдей орттардың ска- лярлық көбейтіндісі (І.б)-ға сэйкес 1 -ге тең де, индекстері бөлек орттар- дың скалярлық көбейтіндісі нөлге тең: ее=ее=ее=1; хх у у 2 2 7 е, е = 0; е е; = 0; (1.13) е е = 0. У 2 Индекстері бірдей орттардың век- торлық көбейтіндісі (1.8)-ге сәйкес нөлге тең де, индекстері бөлек орттар- дың векторлык көбейтіндісі көбейт- кіштердің алыну ретіне карай (жоға- рыда айтылған оң бұранда ережесіне сәйкес) ±1-ге тең: е х е = 0; е х е = 0; хх У У е х е = 0; еү х еу = е^; еух е_ = е ; (1.14) е х е = е . 2 X у |
| Кейде декарттық координаталар жүйесінде орттардың ех, е , е_ бел- гілері орнына і, і, к әріптері (ех=і, е =), е = к) колданылатынын ескерту керек.
Векторльщ амалдардың коор- динаталық турі. Векторларды орт- тардың сызықтық комбинациясы тү- рінде жазайық: А = Ае+Ае+Ае, В = В е + В е +Ве. (1.15) XX у у 2 2 4 у Тиісті түрлендіруден кейін жиі қолданылатын мынадай қатыстарды алуға болады: С = А + В = е(А ( + В) + + е (4 + В ) + е (А + В ), (1.16) А В=АхВх+АгВг+А_В., (1.17) АхВ =ех{АуВ_-А_В) + + е (А_ В( -А~ В_) + ‘ ■ е (,! В А В_). (1.18) Аралас жэне қос векторлық кө- бейтінді. Үш вектордың аралас не- месе скалярлы-векторлық көбейтін- дісінің математикалық өрнегі А (В х С) немесе А[ВС] (1.19) түрінде жазылады. Аралас көбей- тіндінің геометриялық мағынасы қырлары көбейтілетін векторлардан тұратын параллелепипедтің көлемі |
| Кинематика негіздері |
| болады. Параллелепипедтің көлемі қай жақтың табан есебінде алынуына тәуелді болмағандықтан,
А [ВС] = В [СА] = С [АВ] (1.20) теңдіктері орындалады. Сонымен, аралас көбейтінді кө- бейткіштердің А—>В—>С—>А циклді орын алмастыруымен сипатталады. Қос векторлық көбейтіндінің ма- тематикалық өрнегі О = [А[ВС]] немесе Б = А х(В х С) (1.21) формуласымен беріледі. I) векторы В жэне С векторлары орналасқан жазық бетте жатады. Осы жайды ескере отырып, қарапайым түрлендірулерден кейін мына тең- дікті алуға болады: [А[ВС]] = В(АС)-С(АВ). (1.22) |
Автор публикации
