22 декабря, 2017 21:55
Материялық нүктелердің шектелген жинағын материялық нүктелер жуйесі дейді. Жүйеге енген нүктелерді санап шығуга болады. Мүндай жүйеге, егер есептің шарты бойынша молекулаларды материялық нүктелер деп санауға болса, белгілі бір көлемдегі газ мысал бола алады.
|
|
| Сол сияқты, егер ішкі қүрылы- мы мен өлшемдерін ескермеу қажет болса, Күн жүйесін қүрастырып тұрған Күнді, планеталарды, басқа да денелерді материялық нүктелер жүйесі деп карастыруға болады. Жалпы, жүйенің қүрамына кірген ма- териялық нүктелердің бір-біріне салыстырмалы орны уақыт аралығын- да өзгеріп отырады. Жүйеге кірген әр материялық нүктеге табиғатта- ры эр түрлі, біріншіден, жүйеден тыс жатқан объектілер тарапынан сыртқы күштер, екіншіден, жүйеге кірген басқа нүктелер тарапынан ішкі күштер әрекет етеді.
Материялық нүктелер жүйесін дербес жағдайда қатты дене деп атайды. Мүндай жүйенің негізгі ерекшелігі — оны қүрастырушы нүк- телерінің арасындағы кашықтық өзгермейді. Ары қарай жүйені құ- растырған материялық нүктелерді 1, 2, 3, …, п мәндерді қабылдайтын і, і т.б. индекстермен белгілейік (п — нүктелердің саны). Жеке /’-нүктені сипаттайтын физикалық шамаларды да сол индекспен белгілейміз. Мы- салы, г, р , ң. т.б. /-нүктенің радиус- векторын, импульсін, жылдамдығын өрнектейді. Жүйенің импульсі жүйені құрас- тырған нүктелер импульстерінің қо- сындысына тең: Р = Р,+Р2+ +Р„=ХР, І=\ |
| М = Х(г,хҒ,,>Х(г,хГ,). (2.49)
Бүл өрнектегі екінші мүше — екі еселі қосу, яғни бірінші индекстің әрбір мэнінде екінші индекс барлық мүмкін мәндерді қабылдауы керекті- гін ескеріп түр. Ньютонның үшінші заңы бойынша Г..+ Г.= 0. Жүйені күрастырушы /’ жэне / нүктелер ара- сындағы өзара әрекет күштерінің О нүктесіне салыстырмалы момент- терін қарастырайық (2.15-сурет). Таңдагі алған нүктелерді қосатын г векторы /’ нүктеден /’ нүктеге бағыт- талсын. Г, жэне Г. күштерінің момен- ті М = (г х Г )+(г х Г )-ге тең. Г = -Г жэне г..=г.-г. екенін ескерсек, М’ = (г х Г..)-(г х Г.) = 4 у ‘Г х 1 У*7 = ((г-г) х Г ) = (г хГ ) =«0. |
| Өз-өзінен айқын болғандыктан, бұдан кейін жазу ықшам болу үшін X косынды белгісіне индекс қоймаса да болады.
Бастапқы деп қабылдаған О нүк- тесіне қарағанда жүйе импульсінің моменті құрастырушы нүктелер мо- менттерінің қосындысына тең: Ь = Х(г, х Р,) = ХЬ . Сол сияқты, жүйеге эрекет ет- кен күштің О нүктеге қарағандағы моменті де ұксас формуламен анық- талады: М = Х(г.хҒ,.) = ХМг Ньютонның үшінші заңына сэй- кес, ішкі күштердің моменттері өзара жойылып, анағұрлым қарапайым түрге келеді. Бүны дәлел- деу үшін г-материялық нүктеге әрекет еткен Ғ. күш екі күштің, яғни жүйенің басқа нүктелер тарапынан /’-нүкте- ге түскен ішкі күштер қосындысы мен сыртқы Ғ. күштің қорытқысы екенін еске алайық. Ішкі күштерді, яғни, /-інші нүктенің /’-нүктеге эрекет күшін Г. деп белгілеп, толық күшті былай өрнектейміз: ғ, =Ғ,,. + ІЛ- }*1 Қосынды белгісіндегі /’ ф і индекс /’ = /’-ден басқа /-дін барлық мәндері бойынша косу керектігін көрсетіп тұр. мэнді койсақ, |
| Сонымен, теңдеуіндегі екін- ші қосылғыш — ішкі өзара эрекет күштері моменттерінің қосындысы нөлге тең. Енді тек бірінші косыл- ғыш — жүйенің эр нүктесіне эрекет жасаған сыртқы күштер моменттері- нің қосындысы қалады. Сондықтан материялық нүктелер жүйесіне эре- |
| кет еткен күштер моменті туралы айтқанда, тек сыртқы күштерді ескеру жеткілікті.
-теңдеуін уақыт бойынша дифференциалдап, /-нүктенің козға- лыс теңдеуі = ғ, болатынын ойға түсірейік: |
| ^р= _(/р
сһ ^ (1і ‘ (іі |
| мұнда Ғ=£Ғ, материялық нүктелер жүйесіне түсірілген күіи деп атала- ды. Сырт қарағанда теңдеу же- ке материялық нүкте үшін жазылған
-теңдеумен бірдей көрінгенмен, импульсті тасымалдаушылар бүкіл кеңістік бойынша таралуына бай- ланысты ішкі мазмұны одан бөлек. Жүйе оншалықты үлкен емес жыл- дамдықтармен қозғалғанда массалар центрі түсінігін енгізуге болады. Ол үшін импульс анықтамасын алып, оны түрлендірейік: |
| р = ^ /И,1), |
| СІ
= — > тг- (іі^ |
| мүндағы т — Үрп — жүйені құрас- тырған барлық материялық нүктелердің массасы. |
| рамал нүктенін жылдамдығы. Енді жүйенің импульсі былай жа- зылады: |
| радиус-вектор жүйенің массалар центрі деп аталатын жорамал нүкте
,/п орнын аныктайды. _ = ү- осы жо- (һ |
| р = ш — -т\,
ііі яғни жүйенің массасы мен жылдам- дығының көбейтіндісі түрінде бері- леді, басқаша айтқанда, материялык нүкте үшін тұжырымдамамен тура бірдей болады. Осыған байланыс- ты, массалар центрінің козғалысын материялық нүкте қозғалысы сияқты бакылауға болады. жэне формулаларды ескерсек, қозғалыс теңдеуі мы- на түрге келеді: сІ\’ .. «ТГ = Қ <254) яғни бұл теңдеу жүйеге эрекет жаса- ған барлық сыртқы күш массалар центріне түскен болып, бүкіл масса- сы осы массалар центріне жиналған жорамал материялық нүктенің қозға- лыс теңдеуіне эквивалентті. Массалар центрін белгілейтін нүкте жүйені қүрастыруиіы материя- лық нүктелерге карағанда анықтал- ған орын алады. Егер жүйе қатты дене болмаса, оның нүктелерінің өзара орналасуы уақыт бойынша өз- геріп отырады, соның салдарынан массалар центрінің де орны салыс- тырмалы өзгереді. Бірақ эрбір уақыт мезетінде бүл орын ауыстыру нақты анықталған болады. Осы айтылған |
| белгілейік. Массалар центрінің ор- нын О’ нүктеге салыстырмалы анық- тау үшін формуланы мына түрде жазайық:
к‘ = ^2>іг«’ |
| тұжырымдама тек бастапқы таңдап алынған координаталар жүйесінде орындалады. Басқаша айтқанда, нақ- ты анықталган орын деген түсінік нүктелер жүйесіне басқа координата- лар жүйесінен бақылағанда массалар центрі орнының жүйені қүрастырушы нүктелерге салыстырмалы өзгермеуі мағынасында қолданылып отыр. Осы ойды былай дәлелдеуге болады: Егер К рад иус-вектор бастал атын О нүктені массалар центрінде орналастырсақ, онда К = 0. Сондықтан жеке нүкте- лердің г радиус-векторларын масса- лар центріне салыстырмалы санай бастағанда сэйкес
Ітг. = 0. |
| Әрі қарай г / = г. — р екенін ескеріп, (2.56)-дан |
| т |
| Е-Л—рЕ^^К-Р (2—57)
т |
| мәнін табамыз, мұнда т=Үт. формула О’ нүктеден жүргізілген К’ радиус-вектор шынында О нүктеден басталган К радиус-вектор аяқталған нүктені көрсететінін байқатады. Сон- дықтан массалар центрінің орны қай координаталар жүйесінде анықта- луына тэуелді еместігі дэлелденді деп санауға болады. |
| . |
Автор публикации
