8 декабря, 2017 13:03
Жылдамдық
Траектория бойымен қозғалған М нүктесінің орнын қозғалмайтын О нүктесіне салыстырмалы түрде г радиус-вектор арқылы берейік Нүктенің орны I уақыт мезетінде г(/) радиус-векторымен анықталсын.
|
Азғантай Аі уақыттан кейін ол радиус-вектор г(/+Д/) орын- |
| ”«■ = д7 (|‘24)
қатынасымен анықталады. Орта- ша жылдамдық векторының бағы- ты орын ауыстыру векторының бағытына сәйкес. Уақыт аралығы Д/ шексіз азайғанда орташа жылдамдық і) лездік жылдамдық деп аталатын өзінің шегіне үмтылады: У, м
|
| Кинематика негіздері |
| Туынды анықтамасын еске түсір- сек, лездік жылдамдықты радиус- вектордың туындысы ретінде көр- сетуге болады: |
| СІГ
I) = —. |
| е, Аг ____ |
| Материялық нүктенің х осі бағы- тындағы түзу сызықты қозғалысын қарастырып, оның жылдамдығын координаталарының өзгеруі арқылы білдірейік. Аз уақыт аралығында нүкте координатасы х орнынан коор- динатасы х, орынға ауыссын |
| *і * *> х
|
| Суреттен байқағандай, орын ауыстырудың т осіне проекциясы Дг материялық нүктенің і жэне 1+А( уақыт мезеттеріндегі координата- лары арқылы Аг = х, — х, формула- сымен өрнектеледі. Қарастыруға
е, = — формуласымен анықгалған бір- лік векторын енгізіп, (1.25)-ке сэйкес жылдамдықгы мына түрде табамыз: |
| А г
н = һгп —ег , 4«0 Аі немесе |Аг|=Дг( = Ах екенін ескеріп, н = е Ііт — = е — . А‘->° АI Л |
| Соңғы алынған қатынастан нүкте жылдамдығының х осіне проекциясы |
| Екінші жағынан, жылдамдық век- торын радиус-вектор сияқты мына түрде жазуға болады: |
| н = ео+ео+еи.
XX У У 2 2 4 ‘ |
| Соңғы және өрнектерді салыстыра келіп, жылдамдықтың координаталар осьтеріне проекция- ларын табамыз: |
| СІХ СІу СІ2
ғ> = —: о,, =—; о = — |
| Нүктенің орташа жылдамдығы- ның сандық мэнін анықтайтын формуладан орташа жылдам- дық бағыты Аг орын ауыстыру |
| бағытымен бірдей екені байқалады Нүктенің козғалыс уақыт аралығы кішірейген сайын орын ауыс- тыру бағыты мен кез келген уақыт ме- зетінде траекторияға жүргізілген жа- нама арасындағы а бүрыш азая береді (нөлге ұмтылады), ал жылдамдық лездік мэнін қабылдайды. Осыған байланысты эрқашан лездік жылдам- дық қозғалыс траекториясына жана- ма бойымен бағытталады. |
| Лездік жылдамдык бағытын сан- дық тұрғыдан карасіырайык. Қоз- ғалыстағы нүктенің орнын радиус- вектор г(Г) жэне журген жолы 5(Г) арқылы анықтауға мүмкіндік бе- ретін траектория берілсін. Күрделі г(5(Г)) функциясын алып, оны лез- дік жылдамдықты есептеуге қол- данайық: |
| һг сіг сі5
V =— = — х — |
| (1.33) |
| Бұрын айтылғандай, егер А?—>0 болса, \сіг\ = с!8, сондықтан |
| г/5
— =и. |
| сіг
с15 |
| (І.ЗЗ)-теңдіктің оң жағындағы бі- рінші көбейткішті бірлік вектор ар- қылы жазуға болады: |
| СІГ сіг
— X—— |
| сіг с18 |
| =т |
| н = ухт,
яғни лездік жылдамдык бағыты қоз- ғалыс траекториясына жанама бағы- тымен бірдей. |
| Вектор т-дың бағыты с/г бағыты- мен сәйкес және А( нөлге ұмтылған- да траекторияға жанама болады. Со- нымен |
| Үдеу |
| Жылдамдықтың АI уақыт аралы- ғындағы Ан өзгерісінің сол Д/-ға қатынасымен анықталатын шаманы орташа үдеу деп атайды:
■—іг Осыған сэйкес, лездік үдеу жыл- дамдыктың уакыт бойынша туын- дысына тең болады: |
| сіъ а = —. сһ |
| Қозғалысты координаталық эдіс көмегімен өрнектесек, тікбұрышты декарттык координаталар жүйесінде үдеуді жылдамдықтың координата- |
| лық осьтер бағытына проекциялары арқылы не координаталардың уақыт бойынша екінші туындысымен бей- нелеуге болады. Яғни, жэне катыстар негізінде |
| а = —(о,ег + о,.е + о.е.) сіі у — |
| <11 |
| ■ + е. |
| сИ |
| (IV г
~й~ |
| сі2х |
| , |
| СІ2у |
| й 2 |
| й‘е‘ + ^е‘ + ^е‘ (І‘40) |
| табамыз. Бұған коса |
| а = е а + е а + е а .
V X у у 2 2 4 7 |
| бағытымен бірдей болады. Жалпы, жылдамдық векторлық шама бол- ғандықтан, оның бағыты да, мәні де өзгеруі мүмкін. Осыған байланысты, материялық нүкте қозғалысын оның жылдамдығының не тек шамасы, не тек бағыты өзгеру мүмкіншіліктері бар кезге сәйкес зерттейік. |
| Ақыры, -ден |
| б/и | ск> | с1и_ |
| аү = — | <2 = — | а — ^ |
| х йг | 1 (ІІ | СІІ |
| немесе | ||
| с12х | СІ2У | СІ~ 2 |
| о
II |
,о
II =+1 |
|
| а = ^ах2+ау2+а=2 .
Лездік үдеудің бағыты, анықта- ма бойынша, жылдамдық өзгеру |
| теңдеулері алынады.
Үдеудің тікбұрышты декарттык координаталар жүйесінің осьтеріне проекциялары өзара ортогональ. Сондықтан, 1.16-суреттегідей, үдеу модулін мына формуламен есептеуге болады: |
| Жылдамдық бағыты орын ауыстыру бағытымен бірдей болғандықтан, жылдамдық бағыты түрақты уакыт аралығында нүкте түзу сызык бойы- мен қозғалады. Бұл жағдайда үдеу бағыты орын ауыстыру бағытымен бірдей болады үде- мелі қозғалыс не орын ауыстыру бағытына қарама-карсы болады баяу қозғалыс). |
| Дг |
| Мұндай жылдамдық мэнінің өз- геруімен байланысты үдеуді тан- |
| а, = |
| генциалдъщ деп атайды. Оның лездік шамасы әрқашан шексіз аз уақыт аралығындағы (А/—>0) нүктенің эле- ментар орын ауыстыруымен сэйкес түзу бойымен бағытталған. Мате- риялық нүктенің уақыттың өте аз уақыт аралығында кез келген траектория бойындағы қозғалысын түзусызықты деп санауға болады. Осыған байланысты нүкте кез кел- ген траектория бойымен қозғалған- да, оның тангенциалдық үдеуі қоз- ғалыс траекториясына жанама бойымен бағытталған жэне жыл- дамдық бағытымен бағыттас немесе қарама-қарсы.
Бүдан нүкте кез келген траек- ториямен қозғалғанда, оның жыл- дамдық модулінің туындысы танген- циалдық үдеуді |
| дх)
сһ |
| бағытының өзгеруімен байланысты нормалъдық үдеуді а анықтайды. |
| анықтайтыны туралы маңызды коры- тынды туады.
Екінші мүмкін жағдайды қарас- тырайық, яғни нүктенің жылдам- дығы шама жағынан тұрақты бола отырып, бағытын үнемі өзгертіп отырсын. Мұндай мүмкіншілік, мысалы, нүктенің шеңбер бойы- мен бірқалыпты қозғалысы кезінде байқалады . Бұл жағ- дайда жылдамдықтың аз уақыт аралығындағы Дг) өзгерісі шеңбер радиусының бойымен бағыттала- ды. Ал формула жылдамдық |
| Нормальдық үдеудің модулі
До _ Д5 о ” К қатынастан табамыз. Теңдеудің оң және сол жағын Аі қозғалыс уақыт аралығына бөлсек, |
| До Д і |
| мұндағы ап — нормальдық үдеу мо- дулі.
Егер материялық нүкте шеңбер бойымен тангенциалдық үдеумен қозғалса , жылдамдықтың До қорыткы өзгеруін (^1))^ жэне (Дп), қосылғыштарының векторлық қосындысы гүрінде көрсетуге бола- ды: Дң = (Дг>)( + (Ді))г (1-47) Мұнда (Ди)! — жылдамдықтың ба- ғыт бойынша өзғеруін, ал (Дг))2— сан- дық мэнінің өзғеруін өрнектеп тұр, яғни, (Дң) радиус бойымен, ал (Д«) шеңберге жанама бағытталған. |
| «і |
| теңдеудің екі жағын да А( уақыт аралығына бөліп, А(—>0 шарт- қа сэйкес алынған өрнектің шегін карастырсақ:
йй) (й?і)), (г/«)2 сһ сіг сһ немесе а = а + а. Сонымен, жалпы жағдайда шең- бер бойымен қозғалған нүктенің толық үдеуі бағыттары өзара перпен- дикуляр нормальдық және танген- циалдык үдеулерден құралады (1.20-сурет). Толық үдеудің бағыты жылдамдық бағытымен шамасы а мен а -уе тэуелді кез келген бұрыш құруы мүмкін. Толық үдеудің модулі төмендегі формуламен есептеледі: а ~лІах2 + а,,2 . Шеңбер бойымен қозғалған нүкте үшін жоғарыда келтірілген пікірлер кез келген түрдегі траекториялар үшін де дұрыс болады. Себебі, өте аз Аг—>0 уақыт аралығында кез кел- ген траекторияның кішкентай бөлігін тиісті радиусы бар қайсыбір шеңбер- дің доғасы ретінде қарастыруға бо- |
| лады. Бұл радиусты траекторияның осы нүктедегі қисықтық радиусы деп атайды да, ал а, ап жэне а вектор- ларын материялық нүктенің лездік толық, нормалъдық жэне тангенциал- дық үдеулері дейді. |
| Жоғарыда жеке-дара мысалды талдау барысында жасалған қоры- тындыларды жалпы көзқарас негізін- де де алуға болады. Егер эр уақыт мезеттеріне сәйкес и жылдамдық векторларын бір нүктеге ауыстырсак, олардың үшы кеңістікте жылдамдық годографы деп аталатын сызық сы- зады (1.21-сурет). Үдеу, анықтама бойынша, годограф сызығына жана- ма бойымен бағытталған. Жылдам- дық векторын (1.36) өрнекке сәйкес и=п) т түрінде беруге болады. Енді (1.38)-теңдеуін ескерсек, |
| дь сі( от) дт сіо
— = ——- = —о + — СІІ СІІ СІ( СІ( |
| Ди |
| Кинематика негіздері |
| Анықтама бойынша, т & доғаның функциясы болады, яғни |
| сіх
Иі |
| Төмендегі
көреміз: |
| _ <іх сі5 |
|
|
| Дт _ т
А5~г |
| Бұдан Д/—► 0 шексіз азайғанда сіт/сіЗ векторы кисықтық радиу- сы г бойымен қисық центріне бағыт- талатыны байқалады, яғни сіт/сі5 векторы — қозғалыс траектория- сы т жанамаға нормаль. Осы нор- маль бағытымен бірлік п векто- рын қарастыруға енгізейік. Онда |
| сіт сіх
— = п —. |
| Дт |
| -ні, |т| = 1 жэне —=о екенін
сіі Л 1 сһ о ескере отырып,— = п- жэне— = п-. сі5 г СІІ г Сонымен, нүктенің толык үдеуі екі өзара перпендикуляр косылғыш- тан түрады: |
| о2 _ с/о
а-п — +т — |
Әр нүктеде козғалыс траектория- сына перпендикуляр бірінші косыл- ғыш нормальдық ап үдеу, сол нүктеде траекторияға жанама екінші қосыл- ғыш тангенциалдық ат үдеу деп ата- лады
Автор публикации
