7 декабря, 2017 19:42
Электрмагниттік өрістердегі козғалыс пайда болу табиғаты туралы сүрақ электр жэне магнетизм теориясында карастырылады.
|
Электр өрісінің нүктелік электр зарядына эрекет күші физиканың мектептегі курсынан белгілі: Ғ = <?Е, мүнда ц — электр заряды; Е — электр өрісінің кернеулігі. Индукциясы В магнит өрісі та- рапынан <у нүктелік зарядқа Лоренц күші эрекет жасайды: Ғ = #х В). Лоренц күші жылдамдыққа, яғ- ни материялық нүктенің козғалыс бағытына перпендикуляр. Бүл — әре- кет етуші күш тек жылдамдық багы- тын өзгертіп, абсолют мэніне ықпал етпейді деген сөз. Жылдамдықтың сандық мәні тек электр өрісінің эрекетінен өзгеруі мүмкін. Электрмагниттік өрісте зарядқа эрекет жасайтын толық күш , күштердің косындысына тең. Сондыктан зарядтың қозғалыс теңдеуі ./р — = гу[Е + (пхВ)] СІІ |
| Зарядталған бөлшектердің электр жэне магнит өрістеріндегі козға- лысын зерттеу механика есептері қатарына жатады. Бұл өрістердің |
| түрінде жазылады.
Зарядтың магнит өрісіндегі қоз- галысын қарастырғанда оның жыл- дамдығын магнит өрісіне параллель |
| і) және перпендикуляр г> кұраушы- лар аркылы берген қолайлы \
н = «и + н ^. |
| Зарядка әрекет ететін Лоренц күші (2.65)-ке сэйкес
Ғ = ?((«„+ і)±)хВ) = <?(г)±х В) + + ^(г)пх В) = <7(г)±х В) формуламен есептеледі. Мүнда Ло- ренц күшінің магнит өрісі бойын- дағы қүраушысы нөлге тең екені ескерілген. Сонымен, бөлшек жылдамдығы- ның параллель жэне перпендикуляр кұраушылары үшін жазылған қоз- галыс теңдеулері мынадай болады: а) = 0; (2.69) б) т —^- = <у(і)х х в). (2.69, а)-дан г)ц= СОП8І шығады. Бұл өрнек заряд біртекті матнит өрісінде, яғни шамасы мен бағыты кез келген нүктелері үшін |
| бірдей болатын өрісте козғалғанда оның жылдамдығының өріске па- раллель құраушысының түрақты бо- латынын білдіреді. Сонымен, В век- торына параллель бағытта бөлшек өріс мүлде жоқ болғандай қозғалады.
Магнит өрісіне перпендикуляр бағыттағы қозғалысты талдау үшін мынадай ойлар келтірейік. Магнит өрісіндегі ту = ^(#хВ) козғалыс теңдеуін п векторына ска- лярлы көбейтіп, т ———о = ^ ((о х В )х и ) = 0 (2.72) сі і нэтиже аламыз. Мұнда екі параллель вектордың (г>) аралас көбейтіндісі нөлғе тең екені ескерілген. Соңғы теңдеуден |
| шығады, олай болса,
V2 = соті. (2.74) теңдікті, өрнекті ескеріп, V2 = V2 +!)п2 = соті түрінде жазайык. Бұдан орын- далғандықтан, V2 = соті корытындыға келеміз. |
| оң зарядтың — сол бұранда ережесі арқылы байланысты екені туралы корытынды жасауға болады |
| Осыған карағанда, бөлшектің бір- текті магнит өрісіндегі козғалысы барысында толық жылдамдықтың тек абсолют мэні емес, сонымен ка- тар жылдамдықтың перпендикуляр құраушысының модулі де тұрақты болады.
теңцеуге тереңірек қа- райық. і)± мен В векторларының ара- сындағы бұрыш тұракты жэне 71/2- ге тең болады. Ал олардың сандық мәндері өзгермейді. Теңдіктің оң жағындағы күш жылдамдыққа пер- пендикуляр жэне модулі бойынша тұрақты. Осылай болғандықтан, бұл теңдеу тұрақты үдеуі үнемі жыл- дамдыққа нормаль бағытталған коз- ғалысты, яғни шеңбер бойымен қозғалысты өрнектейді. Екінші жа- ғынан, осы теңдеудің сол бөлігінде массаның центрге тартқыш и, 2/г үдеуге (г — шеңбер радиусы) көбей- тіндісі, ал оң жағында центрге тарт- қыш күш |тұр. Сондықтан оны былай жазуға болады: = М ихв. г Бұл теңдеу зарядталған бөлшектің біртекті магнит өрісіне перпенди- куляр жазық бетіндегі шеңбер бойы- мен қозғалысын толық сипаттайды. Айналу бағыты заряд таңбасына тэуелді теңдеуі негізінде те- ріс зарядтың, мысалы, электронның айналу бағыты магнит өрісі бағыты- мен оң бұранда ережесі арқылы, ал |
| Бұрыштық жылдамдық жэне траек- тория радиусы үшін өрнектерді теңдеуден аламыз: |
| 2я
2пгл |
| г |
| №. |
| ті)±
№’ |
| Һ =о„ х Т =о„ х |
| Біртекті тұрақты магниттік өріс- тегі зарядталған бөлшектің толық қозғалысы оның өріс бойымен бір- қалыпты жэне өріске перпендику- ляр жазықтықтағы айналмалы қозға- лыстарынан кұралады. Бұл — бөлшек спираль траекториямен козғалады деген сөз. Спиральдің һ кадамы жыл- дамдықтың параллель кұраушысы мен шеңбер бойымен айналу пе- риоды Г-га тэуелді: |
| 2л
со |
| Вх = В(г); Ву = В_ = 0. |
| Енді зарядталған бөлшектің көл- денең біртекті емес магниттік өріс- тегі қозғалысын карастырайық. Жал- пы жағдайда бұл есептің шешуі өте қиын, сондықтан біз зарядталған бөл- шектің бағыты тұракты, шамасы өз- геретін магниттік өріске үнемі жазық перпендикуляр бағытта түзусызық- ты траекториядан оншалықты ауыт- қымайтын қозғалысын зерттеумен шектелеміз. Өріс мына теңдеулермен сипатталады |
| X |
| I. |
| дық у бағытындағы жылдамдықтан көп үлкен екенін білдіреді: |
| V «V немесе — «1.
У 2 |
| / 2 , 2
У = д/У2 +ьу =ь2 |
( 2\ 1 +—~ |
| 1 |
| Сондықтан магниттік өрістегі ң тұрақты жылдамдықты мына түрде өрнектеуге болады: |
| -> 2 2 2 о. |
| 2„ 2 |
| мұнда квадрат түбір астындағы ша- ма қатарға жіктеліп, оның бірінші мүшесі сақталып отыр. Бүдан |
| V = юу = соті |
| Бөлшек з осі бойымен қозғалады деп санайық. Осы бағытта В маг- ниттік өрістің шамасы да кез келген заңға тәуелді өзгерсін. Уақыттың 1=0 мезетінде бөлшек координата- лар бас нүктесінде орналасып, т> жыл- дамдығы 2 осінің оң бағытымен бағыттас болсын. Суреттен тура көрінгендей, бүл жағдайда Лоренц күші үнемі ут. жазықтығында әрекет жасағандықтан, бөлшек қозғалысы осы жазыктықта жүреді. Қозғалыс барысында тек бөлшектің 2 осінен аз ауытқулары ғана карастырылады. Бүл 2 бойымен бағытталған жылдам- |
| екені, яғни бөлшек жылдамдығы аз |
| шамаға дейін дәлдікпен |
| \ «і 2 ба- |
| I У2 )
ғытында өзгермейтіні көрінеді. Енді |
| („*в)=4 в,-„,в,У
Бұдан |
| Л2х Л2у
т—- = 0; т—- = Л2 Лі ■ |
| жылдамдық п.-ке қарағанда аз болғандықтан, 2 бағыты үшін жа- зылған теңдеудегі күш у координаты |
| үшін теңдеудегі күштен біршама аз. Сондықтан теңдеуді ескере отырып, |
| Жылдамдык V белгілі болса, у(гд) ауыткуды өлшеп, д/т қатынасты (2.90) өрнектен табуға болады. Дэл осы әдіспен кезінде электрон заря- дының массасына катынасының ал- ғашкы мэндерінің бірі аныкталған болатын.
Зарядталған бөлшектің бойлык электрстатикалык өрістегі қозғалы- сын карастырайық. 2 осі электр- статикалық өріс тарапынан зарядқа эрекет еткен күшке параллель болсын дейік. Бөлшек жылдамдығы да 2 осі бойымен бағытталған, ал эр нүкте- дегі оның шамасын, егер 0(2), яғни »(?)— аі белгілі болса, анықтауға болады. Бұл теңдеудің сол жағындағы функция і)(і) белгілі. Сондықтан, егер ід уақыт мезетінде нүкте координатасы 20 бол- са, і мезетте оның координатасы 2 бо- лып, (2.92)-ден \~ = \сІІ = 1-Ід (2.93) ІА=) і аламыз. Енді бөлшектің бастапқы жыл- дамдығы г осімен, ал электрлік өріс х осімен бағытталсын (мұндай шарттар көлденең өрістегі козғалысты сипат- тайды). Осы шарттардың эсерінен бөлшек Х2 жазықтығындағы траек- тория бойымен қозғалады. Егер ь«с (релятивистік емес жағдай) болса, қорытқы қозғалыс екі |
| т с!тт = ЧЕ(-У
аі |
| тәуелсіз козғалыстардан құралады деп санауға болады: 1) Жылдамдығы тұрақты бастапқы о(|-ге тең 2 осі бойымен қозғалыс; 2) Электрлік өріс тарапынан эрекет еткен күш әсері- нен х осі бағытындағы бастапқы жылдамдығы нөлге тең бола отырып, сол осьтің бойымен козғалыс. Со- нымен, I уақыт мезетінде бөлшектің 2 бағыттағы координатасы г=о()1, ал х координатасы 2 жэне х осьтері бойы- мен қозғалыстар арасында ешқандай байланыс болмағандықтан, бойлык электрлік өрісіндегі козғалыс үшін колданылатын формулалар көмегі- мен анықталуы мүмкін.
Бөлшек траекториясы түзу сызық- тан аз ауытқиды, яғни траектория- ның қисықтық радиусы оның үзын- дығынан көп үлкен деп ұйғарайық. Электрлік өріс х осімен бағытталып, магниттік өріс жоқ болсын Электрлік өріс кернеулігі Е-нің сандьтқ мәні 2 осі бойынша өзгереді: Е=Е(х)\ Е=Е= 0; Е=Е(г) Қозғалыс теңдеулері мен бастапқы шарттар |
| Л2У п
т —— = (), л2 |
| т —- = 0; СІГ |
| х(о)= у(о)= г(о)= 0,
А(о)_о. Ф<о)_0і ск ‘ ск ск |
| түрінде беріледі. Бүл есепті шығар- ғанда (2.85)-теңдеумен байланыс- ты айтылған ойлар мен келтірілген түрлендірулерді колдануға болады. |
| Айырмашылык тек (2.89) орнына баска — = ^=0. х(о)= 0(2.95)
ск ти аг теңдеулер алынуында. Ал акырғы ше- шім (2.90)-формулаға толық үксас: о-96) ть мұндағы ■а = /(г0-Л )^(Л )^Л (2.97) 0 тек электрлік өрістің конфигура- циясына тәуелді. Егер электрлік жэне магниттік өрістер бір мезгілде бірге эрекет жасаса, қозғалыс едэуір күрделі болады. Бұл өріс- тер бір-біріне перпендикуляр бо- латын ең бір қарапайым жағдайды алайық. Олардың шамалары бөлшек траекториясының кисықтық радиу- сы қозғалыс аймағының сызықтык өлшемінен көп кіші болатындай болсын, яғни магнит өрісі жеткілікті үлкен болсын. Демек, бөлшек коз- ғалыс аймағында көп айналым жа- сайды. Бүл жағдайлардың салдары- нан зарядталған бөлшектердің ығу |
| Төмен бағытталады. Сондықтан траекторияның төменгі бөлігінде қисықтық радиусы жоға- рыға қарағанда үлкенірек болады, ал ығу, заряд оң болғандай, бұрын- ғы бағытта жүреді. |
| құбылысы пайда болады. Сонымен, 2.22-суретте көрсетілгендей, өріс- тер біртекті айқасқан (Е2_В) бол- сын. Қозғалыстың жалпы сипаты теңдеулерді шешпей-ақ, таза ойша жасалған талдау арқылы анықта- луы мүмкін. Нақтылық үшін бөл- шек зарядын оң деп санайык (</ > 0). Электрлік өріс жоқ болса, түрақты магниттік өрісте бөлшек тұрақты V жылдамдықпен шеңбер бойымен айналадыМагниттік өріске перпендикуляр қосымша электрлік өріс эрекетінен бөлшек жылдамдығы айнымалы болады. Электрлік күш Ғэ бағытында ығыс- қанда бөлшек жылдамдығы өсіп, траекториясының қисықтық радиу- сы артады Жылдамдығы қарсы бағытқа өзгергенде бөлшек электрлік өріс эрекет күшіне қар- сы қозғалады, соның салдарынан оның жылдамдығы азайып, траек- ториясының қисықтық радиусы кішірейеді Кішкентай кисық- тық радиусымен қозғалыс траек- торияның аз бөлігінде жүреді, соның нәтижесінде бір толық айналу кезінде бөлшек эрі электрлік, эрі магниттік өрістерге перпендикуляр бағытта жылжиды. Осы құбылыс ыгу деп ата- лады.
Ығу айқасқан электрлік жэне маг- ниттік өрістерде заряд таңбасына тэуелді емес. Егер бөлшек заря- |
| Е=0 |
| а) |
| Е |
| б) |
| н = ң’ + В\Е х В)
түрінде іздейік. Мүнда і)’ — белгісіз айнымалы жылдамдық, ал вы = й’2(ЕхВ) (2.100) |
| Ығуды центрі і)ы ығу жылдам- дыгымен ығысқан шеңбер бойымен қозғалыс түрінде елестетуге болады. Оны есептеу үшін берілген өрісте
Е + </(охВ) (2.98) қозғалыс теңдеуін шешу керек. Ше- шімді |
| теріс зарядты электронның ығуына ұқсас болады. Сондықтан заряд- тары бірін-бірі теңестіретін элек- трондар мен протондардан тұратын плазманы алып, айқасқан электрлік жэне магниттік өрістерге орналас- тырсақ, плазма тұтас ортадай ығу жылдамдығымен қозғала бастайды. Қозғалыс барысында плазманың оң жэне теріс зарядталған компонента- ларын айыруға тырысатын күштер байкалмайды. |
| кейін көрінетіндей, тұракты ығу жылдамдығы. (2.99)-мәнді (2.98)-тең- деуге қойсақ,
т = <?Е + <7(0’х В)+ * , (2.101) + {в(Е X В)- Ев2 }= ?(и’ X В) в ~ Бұл жерде ((Е х В) х В) = В(Е х В) — Е(В х В) қос векторлық көбейту формуласы қолданылып, Е жэне В ортогональ векторлардың скалярлык көбейтін- дісі нөлге тең екені ескеріліп отыр. теңдеу бірқалыпты айнал- малы қозғалыс теңдеуімен бірдей. Олай болса, ң’ вектор — бір- қалыпты айналмалы қозғалыс жыл- дамдығы. Шеңбер радиусы мен бұ- рыштық жылдамдық )тэрізді формулалармен беріледі. Шеңбер центрі формуламен есеп- телетін ығу жылдамдығымен орын ауыстырады. Абсолюттік мэні бойынша ол оы = В2\(Е х 5)| = — В тең, ал бағыты Е мен В-ға перпен- дикуляр.карағанда, ығу жылдамдығы не заряд таңбасына, не оның шамасына, не бөлшектің мас- сасына тәуелді емес. Бұл айтылған тұжырымдар өте маңызды, себебі оларға байланысты оң зарядты про- тон сияқты ауыр бөлшектердің ығуы жеңіл бөлшектердің, мысалы, |
| Физиканың мектеп курсынан бел- гілі болғандай, жазықэлектрмагниттік толқында электрлік жэне магниттік өрістер әрі өзара перпендикуляр, эрі жарықтың вакуумдегі с жыл- дамдығына тең толқынның таралу жылдамдығына нормаль болады. Егер л осін толқынның таралу бойы- мен бағыттасақ, оның электрлік жэне магниттік өрістерін былай өрнектеуге болар еді (2.23-сурет):
Е=Е0 8Іп(со(-кг), Е=Е= 0; В=В^т{соІ-кг), В=В_=0, (2.103) мұндағы со = 2к/Т — циклдік жиілік; Т — период; к =2к/Х — толқындық сан; X = сТ — толқын ұзындығы. Жазық |
| Ғ = цЕ + <?(і)хВ). |
| электрмагниттік толқында, оған ар- налған теорияда дэлелденетіндей, Е0 жэне В0 амплитудалар Е0=сВ() қа- тынаспен өзара байланысқан.
Зарядталған бөлшекке электрмаг- ниттік толқын өзінің эрі электрлік, эрі магниттік өрістерімен әрекет етеді, яғни |
| Жазық электрмагниттік толқын үшін бүл күштің координаталар ось- теріне проекциялары
Ғх = цЕх + у(і> ,В: — і>:В )= = цЕи 8Іп(а»г — кг)- Ц-Вп 8Іп(соі-кг); Ғг = цЕх + ц{>.Вх -і)хВ: )= 0; (2.105) Ег=яЕ:+ц{>хВу-ьуВх)= = цхВи 8Іп(л>/ — кі) түрінде жазылады. Сондықтан бөл- шектің қозғалыс теңдеулері мына түрде беріледі: |
| т ~ГТ = Ғх = ЧЕ0\ 1 |
| Е_Х
<һ 4+-0; |
| 5Іп(иг -к:У, |
| т1Ғ = ғ’
т = Ғ_ = цЕи — 5Іп(а>/ — кг), |
| шығады, мұндағы к=2л/л=со/с. Осы- ған байланысты (2.106) қозғалыс
теңдеулерінде — -ті бірмен, кг-ті с оҢ-мен салыстыра отырып қарас- тырмауға болады. Онда теңдеулер мына түрге келеді: |
| мүнда Е=сВ0 екені ескерілді. Егер бөлшек жылдамдығы жарық жыл-
дамдығынан аз болса — «1 , бүл шарттан / . к2 = со^-сІІ «а>1 (2.107) 0 с |
| х = ^^-кіпш/; г = ^^-х8іпсоІ. (2.108) |
| тс |
| Бірінші теңдеуді екі рет интеграл- дап, х-тің мэнін табамыз: |
| цЕ0
х =—— !ісо8й>/ + х0; тсо ЧЕ0 X =——- — 51П СОІ + Х01 + Х0, тсо» |
| 1 (ЯЕП |
| мұндағы х0 -1 = 0 уақыт мезетіндегі бөлшек жылдамдығының х осіне проекциясы; х0— сол уақыт мезетіндегі бөлшек координатасы.мэнді екінші теңдеуіне қойсақ, 5Іп 2 соі +
цЕ,. . +— — Х0 81П СОІ. тс |
| _1_
сос |
| Бұл теңдеуді екі рет интегралдау нэтижесінде |
| ЧЕ0 . .
—— —— х0 81П СОІ + 20і + 20 тссо |
| -^зіп2ш/- т ) со с |
| өрнекпен берілетін г-тің мэнін табамыз. |
| текті магниттік өріс қолданылады. Бұл онша үлкен емес энергияларда ауыр бөлшектер үшін ғана мүмкін. Сондыктан циклотронды электрон- дарды үдету үшін колдануға бол- майды.
Бетатрон жылдамдығы жарық жылдамдығымен салыстыруға ке- летін электрондарды үдетуге ар- налған. Ол — жұмысы Фарадейдің электрмагниттік индукция құбы- лысына негізделген индукциялык үдеткіш. Синхротронда айнымалы магнит- тік өріс пен жиілігі тұрақты үдеткіш электрлік өріс қолданылады. Фазотрон — үдеткіш өрісінің жиі- лігі айнымалы циклотрон. Синхрофазотронда сақиналық ай- мақта айнымалы магниттік өріс, ал оған қоса бөлшек траекториясының радиусы тұрақты болуы үшін үде- туші жиілігі айнымалы электрлік өріс колданылады. Ауыр бөлшектер- ді, көбіне протондарды үдету үшін колданылады. Қарапайым сызықтық үдеткіш- те айнымалы кернеу түсірілген тү- тіктердің тізбегі қолданылады. Бірак үдеткіштің бойымен конфигурация- сы арнаулы электрмагниттік тол- қындар таралатын түтік тэрізді тол- қынөткізгіш түрі көбірек тараған. Толқынның электрлік өрісі түтік осі бойымен бағытталған. Толқын- өткізгіштегі толқынның таралу жылдамдығы диафрагмалардың кө- |
| ден мынадай қорытындылар жасауға болады. Егер I = 0 бастапқы уақыт мезетінде бөлшек тыныштықта болса (і0 = 0; х0 = 0), электрмагниттік тол- қын бастапқы орнының төңірегінде бөлшектің тербелісін тудырады. Ал егер 1 = 0 мезетінде бөлшектің белгілі бір жылдамдыгы болса (г0 * 0; хГі ф 0), ары қарай уақыт өскен сайын сол орташа жылдамдығымен бастапқы орнынан алыстай береді. Жэне қозғалыс барысында бөлшек тербелістер жасайды. Сонымен, электрмагниттік толқын бөлшектің орташа жылдамдығын өзгертпейді, бірак жиілігі өзінің жиілігіндей тер- белістер тудырады.
Табиғаттағы алуан күштердің ішінде тек жалғыз электрмагниттік күштер көмегімен зат бөлшектерінің қозғалысын жасанды басқаруға бо- лады. Сондықтан осындай басқару үшін жасалған аспаптарда электр- магниттік күштердің қолданылуы ақиқат. Сөз ең алдымен зарядталған бөлшектерді үдеткіштер — циклотрон, бетатрон, синхротрон, фазотрон, синхрофазотрон, сызықтық үдеткіш туралы болып отыр. Әрине, бүлар- дың әрқайсысының жұмыс негізін караудың өзі оқулықтың аумағынан шығып кетеді. Сондықтан олардың тек кейбір ерекшеліктерін ғана атап кетейік. Циклотронда зарядталған бөл- шектердің кері кайтым жиілігінің тұ- рақтылығын қамтамасыз ететін бір- |
| мегімен реттеледі. Тиісті шарттарды коя отырып, толқын үдететін бөл- шек толқын «үстінде отырғандай», яғни эрбір уакыт мезетінде бөлшек жылдамдығы толқын өткізгіштегі толқын жылдамдығына тең болатын- дай жағдай тудыруга болады. Осы- ның нәтижесінде бөлшекке тол- кынның үдеткіш өрісі үнемі әрекет жасағандықтан, оның энергиясы едәуір өседі. Электрондар үшін жа- салған сызықтык үдеткіштер сэуле шығарумен байланысты қатерлі жағдайлардан құтылуға мүмкіндік береді. Сондыктан осы заманда электрон үшін ең қуатты үдеткіш сызықтық болып отыр. Сонымен қатар, индукциялық сызықтык үдеткіштер де қолданылады. Бүл үдеткіштердің осі бойында индук- циялық электрлік өріс арнаулы рет- пен орналастырылған, бойымен ток жүрген орамалар тудырған маг- ниттік өрістің өзгеруінен пайда болады. Индукциялық сызықтык үдеткіштердің негізгі артықшылы- ғы олардың үдетілетін бөлшектер- дің қарқынды ағындарын тудыру мүмкіншілігімен байланысты. |
Автор публикации
